Über lineare homogene Differentialgleichungen derselben Art. (Q1483372)

Der Satz von \textit{L. Fuchs} (Berl. Ber. 1888, 1276; Werke 3, 18) über lineare homogenen Differentialgleichungen derselben Art wird vom Verf. folgendermaßen erweitert: (Theorem I) Es sei \(\sum\) ein in bekannter Weise definierter Rationalitätsbereich, der jedoch nicht alle Konstanten zu enthalten braucht. Ist dann \(A=0\) irgendeine reduzible lineare homogene Differentialgleichung mit Koeffizienten aus \(\sum\), kann man also \(A\) als symbolisches Produkt \(BC\) schreiben, wobei \(B\) und \(C\) lineare homogene Differentialausdrücke mit Koeffizienten aus \(\sum\) bedeuten, so läßt sich die linke Seite jeder linearen homogenen Differentialgleichung \(A_1=0\) mit Koeffizienten aus \(\sum\), die mit \(A=0\) von derselben Art ist, als symbolisches Produkt \(A_1=B_1C_1\) schreiben, wobei \(B_1\) und \(C_1\) zwei lineare homogene Differentialausdrücke mit Koeffizienten aus \(\sum\) bedeuten und \(B=0\) mit \(B_1=0\) und \(C=0\) mit \(C_1=0\) von derselben Art sind. Auf Grund dieses Satzes lassen sich die früher vom Verf. in den Math. Ann. für die Zerlegung eines linearen homogenen Differentialausdrückes in irreduzible Faktoren und in ``größte vollständig reduzible'' Faktoren gewonnenen Sätze unmittelbar auf die Zerlegung der linken Seiten zweier linearen homogenen Differentialgleichungen, die von derselben Art sind, ausdehnen. Diese Sätze finden sich als Theoreme II-IV im \S 3, während \S 1 zwei Hülfssätze enthält und \S 2 den oben angeführten Satz I beweist.