Solutions d' ordre imaginaire d'une équations différentielle. (Q1483379)

Die Differentialgleichung \[ (1)\quad Y(x,y)\,dy+X(x,y)\,dx=0 \] besitzt nach der Terminologie des Verf. ``in der Umgebung von \(x=0\) eine Lösung \(y(x)\) von imaginärer Ordnung'', wenn \(\mu\) eine komplexe Zahl ist und \(y/x^\mu\) gegen eine endliche von Null verschiedene Grenze konvergiert, sobald \(a\) auf einem gewissen Wege in Null einrückt. Man betrachte nun die beiden Ausdrücke \[ (2)\quad xX(x,y)=\sum A_{\alpha\beta}x^\alpha y^\beta, \, yY(x,y)=\sum B_{\alpha\beta}x^\alpha y^\beta, \] die aus einer endlichen oder einer unendlichen Anzahl von Gliedern bestehen, im letzteren Falle aber für hinreichend kleine \(|x|\) und \(|y|\) konvergent sind, markiere in der Ebene zweier Koordinatenachsen \(O\alpha\) und \(O\beta\) sämtliche Punkte mit den Koordinaten \(\alpha\) und \(\beta\), die den verschiedenen Gliedern der Ausdrücke (2) entsprechen, und zeichne das bekannte ``figurative Polygon'', welches einige dieser Punkte zu Ecken hat, während alle anderen oberhalb oder auf seinen Seiten liegen. Dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer Lösung von der imaginären Ordnung \(\mu=a+bi\,(b\neq0)\), daß für eine Ecke des figurativen Polygons, deren Koordinaten \(m\) und \(n\) seien, \(A_{mn}+\mu B_{mn}=0\) ist. Einer jeden solchen Ecke entsprechen unendlich viele Lösungen imaginärer Ordnung, die sich in Form einer Reihenentwicklung ergeben. Zum Schluß werden einige Eigenschaften dieser Lösungen sowie einige Sonderfälle untersucht.