Studii sulle equazioni differenziali lineari in relazione ai loro integrali normali, pel caso di alcune equazioni del \(2^\circ\) ordine. Polinomii integrali. (Q1483381)

Verf. wendet seine Untersuchungen über die Normalintegrale linearer Differentialgleichungen, insbesondere derjenigen zweiter Ordnung (Annali di Mat. 17 u. früher) in der vorliegenden Arbeit auf einige besondere Klassen dieser Gleichungen an. Er betrachtet eine Differentialgleichung \(a_0y''+a_1y'+a_2y=0\), in welcher für einen reellen Wert der unabh\"ngigen Veränderlichen \(x\) zwischen \(a\) und \(b\) (\(a\) und \(b\) einschließlich) die Koeffizienten mit ihren sämtlichen Ableitungen endlich und stetig sind und \(a_2=g\varphi(z)+l\) (\(z\) ein komplexer Parameter) ist. Der Einfachheit wegen wird angenommen, daß in der (endlichen oder unendlichen) Umgebung eines reellen (zwischen \(a\) und \(b\) einschließlich der Grenzen gelegenen) oder komplexen Anfangswertes von \(x\) die Koeffizienten \(a_0,a_1\) und \(a_2\) holomorphe Funktionen von \(x\) sind. Unter diesen Voraussetzungen werden einige Fälle angegeben, in denen die vorgelegte Differentialgleichung sicher für unendlich viele Werte des Parameters \(z\) als Integrale ganze rationale Funktionen von \(x\) (sogenannte ``Integralpolynome'') besitzt, selbst wenn \(a_0\) in einem oder mehreren Punkten zwischen \(a\) und \(b\) (\(a\) und \(b\) einschließlich) unendlich klein wird. In speziellen Fällen ergeben sich die bekannten Polynome von \textit{Jacobi, Legendre} und \textit{Tschebyschef}.