Sur les équations différentielles du troisième ordre et d'ordre supérieur dont líntégrale générale a ses points critiques fixes. (Q1483387)

Verf. hat sich in der vorliegenden Abhandlung die Aufgabe gestellt, im Anschluß an die Untersuchungen \textit{Painlevés} unter den Differentialgleichungen dritter und höherer Ordnung mit festen Verzweigungspunkten neue Gleichungen aufzusuchen. Den ersten Schritt zur Lösung dieses Problems für die Differentialgleichungen von der Form (1) \(y'''=R(y'',y',y',x)\) wo \(R\) rational in \(y'',y'\), algebraisch in \(y\), analytisch in \(x\) ist, bildet nach dem Vorgange \textit{Painlevés} die Bestimmung der Gleichungen von der ``vereinfachten'' Form \(y'''=\left(1\frac1n\right)\frac{y''{}^2}{y'}+b(y)y'y''+c(y)y'{}^3\) mit eindeutigem allgemeinen Integral, wo \(n\) eine von \(-1\) verschiedene positive oder negative ganze Zahl oder \(\infty\) ist, während \(b(y)\) und \(c(y)\) zwei algebraische Funktionen von \(y\) sind. Für \(n=2,b(y)=0\) sind die eindeutigen Integrale automorphe Funktionen, oder sie lassen sich durch die klassischen Funktionen ausdrücken. Für \(n\neq-2\) hat \textit{Painlevé} ohne Beweis angegeben, daß das Geschlecht der algebraischen Funktionen \(b(y)\) und \(c(y)\) gleich 0 oder 1 ist, und daß die eindeutigen Integrale klassische Funktionen oder Kombinationen derselben sind. Verf. untersucht im 1. Abschnitt für den Fall, daß die Koeffizienten \(b(y)\) und \(c(y)\) rationale Funktionen sind, die Form der obigen Differentialgleichung und gibt die Natur ihrer Integrale an: Die Anzahl der Pole von \(b(y)\) und \(c(y)\) ist für \(n=1\) auf 6, für \(n\neq1\) auf 4 beschränkt (vgl. \textit{Garnier}, C. R. 145, 308, 1907; 147, 915, 1908, der auch den Fall erledigt hat, wo \(b(y)\) und \(c(y)\) algebraische Funktionen vom Geschlecht 1 sind). Im zweiten Abschnitt beschäftigt Verf. sich eingehend mit den Differentialgleichungen von der Form (2) \(y'''=P(y'',y',y,x)\) mit festen Verzweigungspunkten, wo \(P\) ein Polynom in \(y'',y',y\) ist, dessen Koeffizienten analytische Funktionen von \(x\) sind: Abgesehen von 4 Gleichungstypen, deren Untersuchung Verf. noch nicht beendet hat, gibt es unter ihnen keine wesentlich neuen Gleichungen, sondern sie besitzen sämtlich integrierende Faktoren und reduzieren sich auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche aus den von \textit{Painlevé} (Acta Math. 1902) aufgestellten Typen durch algebraische Transformation hervorgehen. Unter den Gleichungen (2) sind besonders die beiden folgenden bemerkenswert: \[ y'''=2yy''-3y'{}^2,\quad y'''=2yy''-3y'{}^2+\frac4{36-k^2}(6y'y^2)^2 \] \[ (k\text{ ganze Zahl }>6); \] ihr allgemeines Integral ist eindeutig in einem durch eine Gerade oder eine Kreislinie begrenzten Gebiete, welche mit den Integrationskonstanten veränderlich ist und einen wesentlich singulären Schnitt bildet. Ihre Integrale habe die Form \(y(x)=\frac6z\frac{dz}{dx}\), wo \(z\) der \textit{Gauß}schen hypergeometrischen Differentialgleichung \[ (3)\quad t(1-t)\frac{d^2z}{dt^2}+\left(\frac12\frac76t\right)\frac{dz}{dt}-\left(\frac1{36}\frac1{k^2}\right)\frac z4=0 \] \[ (k\text{ ganze Zahl }>6\text{ oder }k=\infty) \] genügt und \(x=\frac{z_1(t)}{z(t)}\) (\(z\) und \(z_1\) Fundamentalintegrale von (3)) eine \textit{Schwarz}sche Funktion \(t(x)\) definiert, deren Fundamentaldreieck die Winkel \(\frac\pi2,\frac\pi3,\frac\pi k\) hat. Setzt man \(y=\frac{k6}2\frac{u'}u\), so genügt \(u\) einer Differentialgleichung vierter Ordnung, deren allgemeines Integral ebenfalls einen veränderlichen Kreis als wesentlich singulären Schnitt besitzt. Ist das Integral innerhalb desselben definiert, oder ist der Schnitt eine Gerade, so ist es eindeutig; ist es dagegen außerhalb desselben definiert, so ist die Anzahl seiner Zweige gleich dem Nenner des irreduktiblen Bruches vom Werte \(\frac{12}{k-6}\) wie dem Partikularintegral \(u=x^\frac{12}{6-k}\). Die Funktion \(u(x)\) besitzt eine ähnliche Funktionaleigenschaft wie die thetafuchsschen Funktionen und ist für \(k=7,8,9,12\) selber eine solche Funktion; sie gehört ferner zu den Lösungen der Relation \(X^2+Y^2+u^k=0\) durch eindeutige Funktionen (Spezialfall des \textit{Halphen}schen Problems). Durch Vertauschung der unabhängigen mit der abhängigen Variable reduziert sich die Differentialgleichung für \(u\) auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Macht man die Funktion \(u\) in bezug auf die Variable \(x\) und eine neue Variable \(x_1\) homogen vom Grade \(\frac{12}{6-k}\), so genügt sie der partiellen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^4u}{\partial x^4}\frac{\partial^4u}{\partial x_1^4}-4\frac{\partial^4u}{\partial x^3\partial x_1}\frac{\partial^4u}{\partial x\partial x_1^3}+3\left(\frac{\partial^4u}{\partial x^2\partial x_1^2}\right)^2=0. \] Für \(k=2,3,5\) ist die Gruppe der Differentialgleichung (3) die Gruppe eines regelmäßigen Polyeders, und die entsprechenden Funktionen \(u\) sind bekannte Polynome (vgl. \textit{Klein}, Vorlesungen über das Ikosaeder, S. 57). Unter den Typen der Gleichungen (2), deren Untersuchung Verf. noch nicht vollendet hat, ist der folgende am interessantesten: \[ (4)\quad y'''=y^\lambda y''-(\lambda+1)y^{\lambda-1}y'{}^2\quad (\lambda\text{ eine positive ganze Zahl}), \] weil er zur Betrachtung von Differentialgleichungen führt, deren allgemeines Integral eindeutig ist oder feste Verzweigungspunkte hat, während das singuläre Integral bewegliche Verweigungspunkte besitzt. Im dritten Abschnitt behandelt Verf. die Differentialgleichungen mit festen Verzweigungspunkten von der Form \(y'''=R(y'',y',y,x)\) wo \(R\) eine rationale Funktion von \(y'',y',y\) ist, deren Koeffizienten analytische Funktionen von \(x\) sind; ihre Bestimmung bietet keine Schwierigkeiten wesentlich neuer Art. In dem Falle, wo das Integral der ``vereinfachten'' Gleichung eine \textit{Fuchs}sche oder \textit{Klein}sche Funktion ist, läßt sich das allgemeine Integral der vollständigen Gleichung durch dieselben Funktionen ausdrücken. In dem Falle, wo das Integral der vereinfachten Gleichung bewegliche isolierte wesentlich singuläre Punkte besitzt, ist dasselbe mit dem allgemeinen Integral der vollständigen Gleichung der Fall, und ihre Integration reduziert sich auf die einer Differentialgleichung zweiter Ordnung mit festen Verzweigungspunkten und eine Quadratur. In einem dritten Falle endlich ergibt sich die vereinfachte Gleichung durch Elimination der Konstanten \(A\) und \(B\) aus der Gleichung \(y'{}^2=AP+BQ\) und den beiden daraus durch zweimalige Differentiation entstehenden Gleichungen, wobei \(P\) und \(Q\) zwei Polynome vierten Grades in \(y\) mit konstanten Koeffizienten bedeuten. Unter den Differentialgleichungen dritter Ordnung mit festen Verzweigungspunkten, welche diese vereinfachte Gleichung besitzen, hat Verf. eine Gleichung von der Form \[ \text{(E)}\quad y'''=\sum\frac{(y'-a_i^{'})(y''a_i^{''})}{y-a_i} +\sum\frac{A_i(y'-a_i^{'})^3+B_i(y'-a_i^{'})^2+C_i(y'a_i^{'})}{y-a_i} \] \[ +Dy''+Ey'+\prod(y-a_i)\sum\frac{F_i}{y-a_i}\quad (i=1,2,3,4,5,6) \] gefunden, deren Koeffizienten durch ein System algebraischer Gleichungen und Differentialgleichungen \((S)\) definiert sind und von sechs Parametern abhängen. Verf. beweist, daß die Integrale der Gleichung \((E)\) wirklich feste Verzweigungspunkte besitzen, und daß diese Gleichung einen neuen Typus darstellt; doch ist es ihm nicht gelungen, durch Auflösung des Systems \((S)\) für die Koeffizienten der Gleichung \((E)\) explizite Ausdrücke anzugeben. Im vierten Abschnitt endlich beschäftigt sich Verf. mit Differentialgleichungen vierter und höherer Ordnung mit festen Veerzweigungspunkten; insbesondere vervollständigt er die Bemerkungen von \textit{Borel} (C. R. 138, 337, 1904), welcher eine Anzahl von Gleichungen gruppiert hat, deren allgemeines Integral eine ganze Funktion ist, und dabei bemerkte, daß, wenn man in diesen Gleichungen die Glieder höchsten Gewichtes in bezug auf die Ableitungsindizes abtrennt, man gewöhnliche Invarianten binärer Formen erhält, wie: \[ u^{(n)}+n\lambda u^{(n-1)}+\frac{n(n-1)}2\lambda^2u^{(n2)}+\cdots+n\lambda^{n-1}u'+\lambda^nu. \] Die vorliegende Arbeit enthält, wie man sieht, ein reiches Material wichtiger, interessanter Untersuchungen; jedoch muß hervorgehoben werden (was übrigens der Verf. in der Einleitung selbst tut), daß die Lösung mehrerer der von ihm behandelten Probleme unvollständig geblieben ist.