Sur les simplifiés d'une classe de systèmes différentiels dont l'intégrale générale a ses points critiques fixes. (Q1483394)

Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß in einem linearen Differentialsystem \(m\)-ter Ordnung mit \(n+2\) ``regulären'' wesentlich singulären Punkten \(t_1,t_2,\dots,t_{n+2}\): \[ (1)\quad\frac{dy_k}{dx}=\sum_{j=1}^m y_j\sum_{\nu=1}^{n+2}\frac{A_{jk}^\nu}{xt_\nu}\quad(k=1,2,\dots,m) \] die Monodromiegruppe von den Parametern \(t_1,t_2,\dots,t_{n+2}\) unabhängig ist, sind von \textit{L. Schlesinger} (C. R. 146, 390, 1908) dahin formuliert worden, daß nach einer auf die \(y_k\) ausgeübten Substitution, deren Koeffizienten von \(x\) unabhängig sind, die \(A_{jk}^\nu\) das Differentialsystem \[ (2)\quad \frac{\partial A_{jk}^\nu}{\partial t_i}=\underset{(\nu\neq i)} {\sum_{h=1}^m\frac{A_{jh}^iA_{hk}^\nu-A_{jh}^\nu A_{hk}^i}{t_\nu-t_i}},\,\frac {\partial A_{jk}^i}{\partial t_i}=\underset{(\nu\neq i)}{\sum_{h=1}^m\sum_ {\nu=1}^{n+2}\frac{A_{jh}^iA_{hk}^\nu-A_{jh}^\nu A_{hk}^i}{t_it_\nu}} \] befriedigen müssen. Aus der Lösbarkeit des \textit{Riemann}schen Existenzproblems für die einer gegebenen Gruppe entsprechenden Differentialsysteme (1) (vgl. \textit{Schlesinger}, Vorlesungen über lineare Differentialgleichungen. Leipzig 1908, S. 286 ff.) ergibt sich, daß das allgemeine Integral \(A_{jk}^\nu(t_i)\) des Systems (2), als Funktion eines der Parameter \(t_1,t_2,\dots,t_{n+2}\) betrachtet, feste Verzweigungspunkte besitzt. Verf. zeigt nun in der vorliegenden Note, daß die Integrale \(A_{jk}^\nu(t_i)\) des zu (2) gehörigen ``vereinfachten'' Systems (nach der Terminologie von \textit{Painlevé}), welches sich aus (2) ergibt, wenn man daselbst \(A_{jk}^\nu\) durch \(\varepsilon^{-1}A_{jk}^\nu,t_i\) durch \(a_i+\varepsilon t_i\) (\(a_i\) Konstanten) ersetzt und \(\varepsilon\) gegen Null konvergieren läßt, für \(m=2\) eindeutige Funktionen sind, welche sich durch hyperelliptische Funktionen und durch Funktionen mit konstanten Multiplikatoren (vgl. \textit{Appell}, Acta Math. 13) ausdrücken lassen.