On a class of linear functional differential equations (Q1483398)

Die vorliegende Arbeit enthält den Versuch einer Theorie der linearen differentialen Funktionalgleichungen von der Form \[ \begin{multlined} (1)\quad f^{(n)}(x)+\lambda_{n-1}f^{(n-1)}(x-h_{n-1})+\lambda_{n2}f^{(n-2)} (x-h_{n-2})+\cdots\;+\lambda_0f(x-h_0)=g(x), \end{multlined} \] wobei die \(\lambda_\varrho\) gegebene reelle oder komplexe und die \(h_\varrho\) gegebene reelle Konstanten bezeichnen und die Gleichung bei gegebenem \(g(x)\) durch Bestimmung der gesuchten Funktion \(f(x)\) für alle reellen Werte von \(x\) erfüllt werden soll. Der Lösbarkeitscharakter der Gleichung (1) hängt wesentlich ab von der Existenz reeller Nullstellen der ganzen Transzendenten \[ (2)\quad l(\nu)=(i\nu)^n+\sum_{\varrho=0}^{n1}\lambda_\varrho(i\nu)^\varrho e^{-ih_\varrho\nu}, \] deren Anzahl endlich ist. Setzt man voraus, daß die für alle reellen Werte von \(x\) definierte Funktion \(g(x)\) überall stetig ist und nicht stärker unendlich wird als alle Potenzen von \(x\), und verlangt man von der ``Lösung'' \(f(x)\) und ihren \(n-1\) ersten Ableitungen dasselbe, so gelten folgende Sätze: 1. ``Wenn \(l(\nu)\) keine reellen Nullstellen hat, so besitzt die Gleichung (1) stets eine und nur eine Lösung. Wenn dagegen \(l(\nu)\) -- jede nach ihrer Vielfachheit gezählt -- \(m\) reelle Nullstellen besitzt \((m>0)\), so hat Gleichung (1) stets unendlich viele Lösungen; und zwar erhält man aus jeder Lösung die Gesamtheit aller durch Hinzuaddieren aller Funktionen von der Form (3) \(\sum_{\mu=1}^mc_\mu\varphi_\mu(x)\), wobei die \(c_\mu\) willkürliche Konstanten bezeichnen und die \(\varphi_\mu(x)\) ein gewisses (in \S 4 explizit angegebenes) System von \(m\) linear unäbhangigen Funktionen bilden, die ausschließlich durch die reellen Nullstellen von \(l(\nu)\) bestimmt sind.'' Läßt man \(g(x)\) in (1) identisch verschwinden, so ergibt sich für die homogene Gleichung: 2. ``Im Falle der Nichtexistenz reeller Nullstellen von \(l(\nu)\) hat die homogene Gleichung außer der identisch verschwindenden keine Lösung. Besitzt aber \(l(\nu)\,m\) reelle Nullstellen, jede nach ihrer Vielfachheit gezählt, so hat die homogene Gleichung \(m\) linear unabhängige Lösungen, und die Gesamtheit aller Lösungen wird durch die Formel (3) gegeben.'' Für \(g(x)\not\equiv0\) gilt ferner der Satz: 3. ``Im Falle der Nichtexistenz reeller Nullstellen von \(l(\nu)\) kann keine der Funktionen \(f(x),f'(x),\dots,f^{(n)}(x)\) von höherer Ordnung unendlich werden als \(g(x)\); wenn insbesondere \(g(x)\) ganz zwischen endlichen Grenzen verläuft, so verläuft auch die (einzige) Lösung \(f(x)\) nebst ihren \(n\) ersten Ableitungen ganz zwischen endlichen Grenzen.'' Dagegen ist das Vorhandensein reeller Nullstellen von \(l(\nu)\) von einer Steigerung des möglichen Grades des Unendlichwerdens der Lösung \(f(x)\) und ihrer \(n\) ersten Ableitungen begleitet, die vom Verf. durch ein besonderes Theorem genauer präzisiert wird. Die vom Verf. angewandten Lösungsmethoden liefern auch dann noch stets eine mit ihren \(n\) ersten Ableitungen überall stetige, die Gleichung (1) befriedigende Funktion \(f(x)\), wenn die stetige Funktion \(g(x)\) nur durch eine Ungleichung von der Form: \[ |g(x)|\leqq\text{Const.}\,e^{\eta x} \] beschränkt ist, wobei \(\eta\) eine beliebige positive Konstante bedeutet. Ferner bleiben alle Sätze und Beweise unverändert bestehen für Gleichungen von der allgemeineren Form \[ \begin{multlined} f^{(n)}(x)+\sum_{\varrho=1}^{m_{n-1}}\lambda_{n-1,\varrho}f^{(n1)}(x-h_{n-1,\varrho})+\sum_{\varrho=1}^{m_{n-2}}\lambda_{n2,\varrho}f^{(n-2)}(x-h_{n-2,\varrho})+\cdots\;+\sum_{\varrho=1}^{m_0}\lambda_{0,\varrho}f(xh_{0,\varrho})=g(x); \end{multlined} \] nur muß dann \(l(\nu)\) entsprechend definiert werden. Die vom Verf. auseinandergesetzte Theorie wird durch mehrere einfache Beispiele illustriert.