Sur une classe de transformations infinitésimales de l'espace fonctionnel. (Q1483418)

(Siehe JFM 42.0365.01, JFM 42.0365.02) In einer Serie von Abhandlungen beginnt der Verf., die Begriffe der \textit{Lie}schen Theorie aus dem \(n\)-dimensionalen Gebiet in das unendlich-dimensionale aller in einem gegebenen Intervall stetigen Funktionen zu übertragen. Er beginnt systematisch mit der Zusammenstellung einiger grundlegenden Betrachtungen, die man als Elementargeometrie dieses Raumes bezeichnen könnte, und die dem Gedankenkreis der Arbeit von \textit{E. Schmidt} (F. d. M. 39, 401 ff. 1908) entstammen; war es doch auf Veranlassung \textit{Kowalewskis} geschehen, daß \textit{Schmidt} in dieser Arbeit alles in das geometrische Gewand der Vektorsprache gekleidet hatte. Die Übertragung der \textit{Cayley}schen Darstellung einer orthogonalen Transformation durch independente Parameter auf \textit{Fredholm}sche Funktionaloperationen sei hiervon besonders hervorgehoben. Er geht sodann zur Aufstellung von Gruppen, ihren infinitesimalen Transformationen und Klammerausdrücken über. Er beginnt mit der \textit{Fredholm}schen Gruppe aller Transformationen \[ g(x)=f(x)+\int_0^1K(x,y)f(y)\,dy, \] deren \textit{Fredholm}sche Determinante \(D\) nicht verschwindet, und mit der invarianten Untergruppe von ihr, die durch die Bedingung \(D=1\) ausgesondert wird, sowie der orthogonalen Gruppe. Dies würde den linearen homogenen Gruppen bei \textit{Lie} entsprechen. In der zweiten Mitteilung verläßt der Verf. diese und beginnt dementsprechend mit der Bildung von Integralpotenzreihen nach \textit{Schmidt} (F. d. M. 39, 399 ff., 1908), um sodann eine ``reguläre infinitesimale Transformation'' als \(\delta f={\mathfrak P}(f)\delta t\) zu definieren, wo \({\mathfrak P}(f)\) eine reguläre Integralpotenzreihe bedeutet. Die Gruppen, die er behandelt, charakterisieren sich durch ihre Namen: die (unhomogene) lineare Gruppe, die projektive Gruppe (die Geraden in Geraden überführt), ferner diejenige Untergruppe von ihr, die die Einheitskugel \(\int_0^1f^2\,dx=1\) in sich transformiert, endlich die konforme (winkeltreue) Gruppe. In der zweiten Note fügt er die \textit{Volterra}-Gruppe aller Transformationen \[ g(x)=f(x)+\int_0^x K(x,y)\,dy \] hinzu, in der dritten Note eine elegantere Schreibweise der projektiven Gruppe, die dem Übergang zu homogenen Variabeln bei \(n\) Dimensionen nachgebildet ist.