Sopra le funzioni permutabili di \(2^{\text{a}}\) specie e le equazioni integrali. (Q1483447)

Anknüpfend an die soeben referierten Untersuchungen \textit{Sinigallias}, geht \textit{Volterra} von der Bemerkung aus, daß die Vertauschbarkeit (''zweiter Art'') zweier Funktionen der speziellen Gestalt \[ F(x,y)=\sum_{i,k=1}^na_{ik}f_i(x)\varphi_k(y),\quad\varPhi(x,y)=\sum_ {i,k=1}^n b_{ik}f_i(x)\varphi_k(y) \] gleichbedeutend ist mit der Vertauschbarkeit der beiden Produkte \((\lambda_{ik})\cdot(a_{ik})\) und \((\lambda_{ik})(b_{ik})\) von \(n\)-gliedrigen Matrizen, wobei \(\int\varphi_i(x)f_k(x)\,dx=\lambda_{ik}\) gesetzt ist und \(|\lambda_{ik}|\neq0\) angenommen ist. Damit sind alle Fragen auf die bekannte Theorie der Vertauschbarkeit endlicher Matrizen zurückgeführt; die Angabe einer beliebigen mit \(\varPhi\) vertauschbaren Funktion erfolgt ähnlich wie bei \textit{Sinigallia}, nur daß direkt mit den Funktionen \(f_i(x),\varphi_i(x)\) ohne vorhergehende Orthogonalisierung gearbeitet wird. Diese Überlegungen finden Anwendung zur Bestimmung einer mit \(\varPhi\) vertauschbaren Lösung \(F(x,y)\) der Integralgleichung \(m\)-ten Grades \[ F_0F^m+F_1F^{m-1}+\cdots+F_{m-1}F+F_m=0, \] wo die \(F_0,\dots, F_m\) gegebene, mit \(\varPhi\) und miteinander vertauschbare Funktionen sind, und wo mit den Multiplikations- und Potenzsymbolen Kompositionen der betreffenden Funktion bezeichnet werden.