Equazioni integro-differenziali con limiti costanti. (Q1483449)

\textit{Volterra} behandelt jetzt die Integro-Differenzialgleichung mit konstanten Integrationsgrenzen \[ (1)\quad \sum_{i=1}^p\frac{\partial^2u(x_1,\dots,x_p|t)}{\partial x_i^2}+z\cdot\int_0^1\sum_{i=1}^p\frac{\partial^2u(x_1,\dots,x_p| \tau)}{ \partial x_i^2}\cdot f_i(t,\tau)\,d\tau=0 \] für die unbekannte Funktion \(u\) der \(p+1\) Veränderlichen \(x_1,\dots,x_p|t\). Genau wie früher bei den Gleichungen mit variabler Integrationsgrenze führt er die Lösung zurück auf die Bestimmung einer ``Grundlösung'' \(V\) der adjungierten, durch Vertauschung von \(f_i(t,\tau)\) mit \(f_i(\tau,t)\) entstehenden Gleichung und stellt diese Lösung als Reihe nach Potenzen des Parameters \(z\) dar, die sich für \(z=0\) auf die Grundlösung \(r^{2-p}=\left(\sqrt{\sum_{i=1}^p(x_i-a_i)^2}\right)^{2-p}\) der für \(z=0\) entstehenden Differentialgleichung, multipliziert mit einer willkürlichen Funktion \(F(t)\), reduziert \((p>2)\). Diese Potenzreihe konvergiert jedoch, im Gegensatz zu dem Falle veränderlicher Grenze, nur für hinreichend kleine \(|z|\), und darum will die vorliegende Untersuchung eine Darstellung von \(V\) für alle \(z\) liefern, wenigstens unter der Voraussetzung, daß\ die \(f_i(t,\tau)\) vertauschbar ``von der zweiten Art'' sind: \[ \int_0^1 f_i(t,\tau)f_k(\tau,r)\,d\tau=\int_0^1f_k(t,\tau)f_i(\tau,r)\,d\tau. \] Das gelingt auf Grund der Bemerkung, daß jene Potenzreihenentwicklung von \(V\) formal übereinstimmt mit der Entwicklung der Grundlösung \[ (2)\quad W=C\cdot\left(\sum_{p=1}^p\frac{(x_i-a_i)^2}{1+2\cdot m_i}\right)^\frac{z-p}2 \] der Differentialgleichung \[ \sum_{i=1}^p\frac{\partial^2W}{\partial x_i^2}+z\sum_{i=1}^pm_i\frac{\partial ^2W}{\partial x_i^2}=0 \] nach ansteigenden Potenzen von \(z\), wenn man jedes darin vorkommende Produkt \(C\cdot m_i\cdot m_k\cdots m_l\) durch die Komposition (symbolisches Produkt) \[ \int_0^1\int_0^1\cdots\int^1F(\xi_i)f_i(\xi_i,\xi_k)f_k(\xi_k,\xi _p)\cdots f_l(\xi_l,t)\,d\xi_i\,d\xi_k\cdots d\xi_l \] und \(C\), wo es allein auftritt, durch \(F(t)\) ersetzt. Schreibt man nun unter der Annahme, daß \(p\) eine gerade Zahl \(2q\) und \(>2\) ist, statt der Gleichung (2) \[ \begin{multlined} W\left\{1+\sum_{i=1}^{2q}\frac{(x_ia_i)^2}{r^2}[(1+zm_1)\cdots(1+zm_{i-1})(1+ zm_{i+1})\cdots(1+zm_p)-1]\right\}^{q-1}\;=\frac C{r^{2q-2}}\{(1+zm_1)(1+zm_2)\cdots(1+zm_p)\}^{q-1}, \end{multlined} \] so geht die rechte Seite durch die soeben geschilderte Substitution in eine mit den \(f_i(t,\tau)\) bekannte Funktion \(\varPhi(t)\) über, die linke Seite aber liefert bei derselben Umformung, wenn man nur \(W\) überall durch \(V(t)\), bzw. \(\int_0^1V(\xi)\cdots\,d\xi\) ersetzt, einen Ausdruck \(V(t)+\int_0^1V(\xi)\varTheta(\xi,t)\,d\xi\), wo \(\varTheta(\xi,t)\) eine mit den \(f_i\) bekannte Funktion ist, die übrigens wie \(\varPhi\) die \(x_i\) als Parameter enthält und von \(z\) ganz und rational abhängt. Damit hat man für \(V\) eine Integralgleichung zweiter Art \[ V(t)+\int_0^1V(\xi)\varTheta(\xi,t)\,d\xi=\varPhi(t), \] aus der insbesondere folgt, daß \(V\) eine meromorphe Funktion von \(z\) ist.