Sopra una proprietà generale delle equazioni integrali ed integro-differenziali. (Q1483450)

\textit{Volterra} faßt in dieser Note die Prinzipien seiner Behandlung der Integro-Differentialglelichungen zusammen, die wesentlich in der Gültigkeit der sämtlichen Rechengesetze im Gebiet der permutablen Funktionen beruhen. Er betrachtet, um es der Kürze halber nur für den Fall zweier Variablen \(z,u\) zu referieren, die Potenzentwicklung des Quotienten zweier ganzen Funktionen \[ (1)\quad \frac{\varphi(z,u)}{1+\psi(z,u)}=\frac{\sum_{\alpha,\beta} a_{\alpha \beta}z^\alpha u^\beta}{1+\sum_{\alpha,\beta}b_{\alpha\beta} z^\alpha u^\beta}=\sum_{\alpha,\beta}c_{\alpha\beta} z^\alpha u^\beta=f(z,u) \] \[ (a_{00}=b_{00}=c_{00}=0), \] die im allgemeinen zur für hinreichend kleine \(z\) und \(u\) konvergiert. Sind nun \(S_1,S_2\) vertauschbare \(n\)-gliedrige Matrizen, bzw. vertauschbare Funktionen der Veränderlichen \(x,y\) im Intervalle \(0\leqq{}_y^x\leqq1\), so versteht man unter Produkten und Potenzen von ihnen die entsprechenden Operationen des Matrizenkalküls, bzw. die Kompositionen (''zweiter Art'') nach dem Schema \(\int_0^1S_1(x,\xi)S_2(\xi,y)\,d\xi\) und ersetzt demgemäß in \(\varphi,\psi,f\) die Agregate \(z\) und \(u\) durch die entsprechenden aus \(z\cdot S_1\) und \(u\cdot S_2\) gebildeten. Dann entstehen neue Matrizen, bzw. Funktionen \(\varPhi,\varPsi,F\) von \(x,y\), von denen die ersten beiden \textit{ganze} Funktionen von \(z,u\) sind, während \(F\) jedenfalls als Quotient zweier ganzen Funktionen von \(z,u\) darstellbar ist; außerdem sind sie alle mit \(S_1,S_2\) vertauschbar. Der wesentlichste Teil dieser Aussage, die Behauptung über \(F\), folgt daraus, daß man für \(F\) ein lineares Gleichungssystem, bzw. die Integralgleichung \[ F(z,u\,|\,x,y)+\int_0^1F(z,u\,|\,x,\xi)\varPsi(z,u\,|\,\xi,y) \,d\xi=\varPhi(z,u\,|\,x,y) \] aufstellen kann. Verschwinden die Funktionen \(S_1,S_2\) speziell für \(x<y\) identisch, so tritt an Stelle der Multiplikation die Komposition und Vertauschbarkeit ``erster Art'' nach dem Schema \(\int_x^yS_1(x,\xi)S_2(\xi,y)\, d\xi\), und auch \(F\) wird eine ganze Funktion von \(z\) und \(u\). Hat man nun eine Anzahl algebraischer oder Differentialgleichungen \(g_s=0\) und solche Lösungen \({\mathfrak F}_s\) von ihnen, die in bezug auf gewisse Variablen oder Parameter \(z,u\) bei \(z=u=0\) verschwindende Quotienten ganzer Funktionen sind, so kann man gerade die erörterte Substitution ausführen und erhält dann aus \(g_s=0\) ein System von IntegroDifferentialgleichungen, aus \({\mathfrak F}_s\) solche Lösungen von ihnen, die Quotienten ganzer Funktionen von \(z,u\) sind. So werden jedem derartigen algebraischen oder Differentialgleichungsproblem mit ihm gleichzeitig lösbare Integro-Differentialgleichungen zugeordnet: für die Komposition ``erster Art'' hat \textit{Volterra} diese Zuordnung bereits in einer früheren Note (s. F. d. M. 41, 400 1910) unter ein wenig modifizierten Voraussetzung behandelt.