\textit{Volterra}sche Integralgleichungen und Summengleichungen. Zweiter Teil: Über die Lösungen gewisser Summengleichungen und ihr asymptotisches Verhalten. (Q1483456)

(Siehe JFM 42.0380.04) Die früheren Untersuchungen der \textit{Volterra}schen Integralgleichung \[ (1)\quad \int_0^xH(x,y)\varphi(y)\,dy=f(x) \] mit analytischem Kern beziehen sich vorzugsweise auf den Fall, daß die Entwicklung von \(H(x,x)\) bei \(x=0\) mit Gliedern der gleichen Dimension beginnt, wie die von \(H(x,y)\) bei \(x=0,y=0\); der Hauptgegenstand des ersten Teiles der vorliegenden Arbeit ist die eingehende Untersuchung des Verhaltens der Lösungen, falls \(H(x,y)\) mit Gliedern \textit{erster} Dimension beginnt, \(H(x,x)\) aber mit solchen \textit{zweiter oder höherer}. Dieser Fall läßt sich leicht darauf zurückführen, daß \[ H(x,y)=y^{k+1}+(\alpha_0+\alpha_1y+\cdots)\frac{yx}{1!}+\cdots. \] Ist dann der reelle Teil \(\overline\alpha_0\) von \(\alpha_0\) positiv, so hat die zu (1) gehörige homogene Gleichung eine (bis auf einen konstanten Faktor bestimmte) Lösung, die für kleine positive \(x\) eine asymptotische Darstellung \[ e^{\vartheta(x)}x^\varrho(c_0+c_1x+\cdots),\text{ wo }\vartheta(x)=-\sum_{\nu=0}^{k-1}\frac{\alpha_\nu}{(k-\nu)\cdot x^{k-\nu}},\varrho=\alpha_k-k-1, \] gestattet, und zwar genügt diese Reihe formal der durch zweimalige Differentiation aus der Integralgleichung entstehenden Gleichung; für \(\overline\alpha_0<0\) gibt es jedoch keine differenzierbare Lösung, die für kleine \(x\) unterhalb Const. \(x^{\delta-1}\,(\delta>0)\) bleibt. Die nichthomogene Gleichung (1) hat, wenn \(f(x)\) für kleine \(x\) analytisch, \(f(0)=f'(0)=0\) und \(\overline\alpha_0\neq0\) ist, eine Lösung, die für kleine positive \(x\) durch eine der zweimal differenzierten Gleichung (1) wiederum formal genügende Potenzreihe \(c_0+c_1x+\cdots\) asymptotisch dargestellt wird. Beide Lösungen werden durch das Verfahren der sukzessiven Approximation aus der zweimal differenzierten Gleichung, bzw. aus einer sie ersetzenden Kette linearer Differentialgleichungen erster Ordnung gewonnen. Vorab wird entsprechend der -- im wesentlichen bekannte -- Fall \(k=0\) behandelt, wo sich im allgemeinen Konvergenz der asymptotischen Darstellung ergibt. Im zweiten Teil wird in ganz analoger Weise die ``Summengleichung'' \[ -\sum_{y=x,x+1,x+2\cdots}^\infty H(x,y)\varphi(y)=f(x)\quad(x\geqq x_0) \] behandelt, die der aus (1) durch die Substitution \(x=\frac1{x'},y=\frac1{y'}\) hervorgehenden Integralgleichung mit unendlichen Grenzen entspricht. Unter der Annahme, daß \(H(x,y)=\sum_{\lambda,\mu=0}^\infty\frac{a_{\lambda\mu}}{x^\lambda y^\mu}\) ist, werden für die Fälle \(a_{00}\neq0;a_{00}=0,a_{01}+a_{10}\neq0;a_{00}=0,a_{10}\neq0,a_{10}+ a_{01}=0\) die Lösungen und asymptotische Darstellung bei großen \(x\) für sie hergestellt.