Sopra un teorema di esistenza per le equazioni alle derivate parziali del seconde ordine. (Q1483466)

Neben dem klassischen Existenztheorem von \textit{Cauchy} für die Lösungen einer Gleichung \(F(x,y,z,p,q,r,s,t)=0\), bei dem die Anfangswerte auf einer vorgeschriebenen Kurve gegeben sind, hat sich in neuerer Zeit die Aufmerksamkeit auf eine Gruppe analoger Theoreme gerichtet, bei dem die Anfangswerte auf zwei verschiedenen Kurven, die von einem Punkte \(O\) ausgehen, gegeben sind. Alle vollständigeren, hierbei gehörigen Resultate lassen sich nach Verf. in zwei Theoreme einordnen. I. Die Gleichung sei linear, die Koeffizienten der Ableitungen zweiter Ordnung seien bloße Funktionen von \(x\) und \(y\), und die Charakteristiken seien verschieden. Eine solche Gleichung kann in die Form gebracht werden: \(s=f(x,y,z,p,q)\). In der \((x,y)\)-Ebene seien zwei Kurven \(\gamma_1,\gamma_2\) mit stetig variabler Tangente, die sich in einem Punkte \(O\) schneiden, gegeben. Dann existiert in der Umgebung von \(O\) eine und nur eine Lösung, die sich auf \(\gamma_1\) und \(\gamma_2\) auf gegebene Wertfolgen reduziert, wenn nur das Doppelverhältnis, das zu den vier Strahlen: den Tangenten an \(\gamma_1\) und \(\gamma_2\) in \(O\) und den Koordinatenachsen gehört, einen von 1 verschiedenen Modul besitzt. II. Die Koeffizienten der Gleichung seien regulär analytisch. Durch eine passende Transformation der unabhängigen und der abhängigen Variablen kann man es so einrichten, daß\ die Anfangsbedingungen die sind, daß eine Lösung gesucht wird, die auf den Achsen gleich Null wird und im Koordinatenfangspunkt gleichfalls verschwindende Ableitungen erster und zweiter Ordnung besitzt. Die Gleichung sei nun in die Form gebracht: \[ A(x,y,z,p,q,r,t)r+s+B(x,y,z,p,q,r,t)=f(x,y,z,p,q). \] Dann existiert eine und nur eine analytische Lösung des Problems, wenn \(|A(0,0,0,0,0,0,0)B(0,0,0,0,0,0,0)|<\frac14\) ist. Es bleibt noch vom Standpunkte der Theorie der analytischen Funktionen aus offen, das allgemeine Problem für die Gleichung \(F(x,y,z,p,q,r,s,t)=0\) bis zu demselben Grade der Vollkommenheit zu fördern, wie dies für die lineare Gleichung (Theorem I) geschehen ist. Die beiden ersten Paragraphen der vorliegenden Arbeit stellen sich die Aufgabe, festzustellen, daß die Lösbarkeit des allgemeinen Problems für verschiedene Charakteristiken auch nur die eine Bedingung des Theorems I erfordert. Paragraph III gilt der Förderung der Theorie der Charakteristiken vom Standpunkte der reellen Variablen aus. Im \S IV werden Betrachtungen über parabolische Gleichungen, auf die sich die vorangehenden Theoreme nicht beziehen, angestellt.