Sur une généralisation de la méthode de \textit{Fredholm} pour la résolution du problème de \textit{Dirichlet}. (Q1483489)

\textit{Fredholm} hat das erste Randwertproblem der Potentialtheorie, wie folgt, behandelt. Er stellt mit \textit{C. Neumann} die gesuchte Funktion durch das Potential einer Doppelbelegung dar und findet zur Bestimmung der Dichtigkeit der Belegung in bekannter Weise eine lineare, nichthomogene Integralgleichung zweiter Art. Der Verf. verallgemeinert dieses Verfahren und sucht zunächst die Bedingungen dafür, daß eine in einem Gebiete (das sich auch ins Unendliche erstrecken kann) reguläre Potentialfunktion sich durch ein längs der Randkurve \(C\) erstrecktes Integral von der Form \[ \int_C\varphi(s)\left[\frac P{r^2}-f(s;x,y)\right]\,ds \] darstellen läßt. Hierin bezeichnen: \(r\) die Entfernung des Punktes \((x,y)\) von dem Punkte \(s\) auf dem Rande, \(P\) die Entfernung desselben Punktes \((x,y)\) von der Tangente in \(s\) an \(C,ds\) das Bogendifferential, \(f(s;x,y)\) eine für alle \(s\) auf \(C\) reguläre Potentialfunktion der Variabeln \(x\) und \(y\). Insbesondere werden die beiden Fälle betrachtet: \[ f(s;x,y)=f(s)\text{ und }f(s;x,y)=g(s)\log\frac1r-f(s). \]