Über Variationsprobleme mit variablen Endpunkten. (Q1483505)

Für \(n>1\) bietet die Behandlung von Variationsproblemen im \((n+1)\)-dimensionalen Raume für einfache Integrale nach der \textit{Weierstraß}schen Methode Schwierigkeiten, falls der Anfangs- oder Endpunkt nicht fest vorgeschrieben ist, sondern auf einer Mannigfaltigkeit von weniger als \(n\) Dimensionen variieren kann; denn die \textit{Weierstraß}sche Methode bedient sich der zur Anfangs- oder Endmannigfaltigkeit transversalen Extremalenschar, die in den genannten Fällen im allgemeinen nur ein uneigentliches Feld bildet und daher nicht ohne weiteres die Entscheidung gestattet, ob ein starkes Extremum vorliegt. Zur Behebung der hieraus hervorgehenden Schwierigkeit sind in einzelnen Fällen Spezialuntersuchungen angestellt worden; die vorliegende Arbeit soll diese Schwierigkeit ganz allgemein beheben. Gestützt auf die vom Verf. auch bei andern Gelegenheiten verwendete Methode der gebrochenen Extremalen, wird der Satz bewiesen: Ein Extremalenbogen, der (bei irgendwelchen Randbedingungen) ein \textit{schwaches} Extremum liefert, und in dessen Umgebung die \(E\)-Funktion definites Zeichen hat, liefert (bei denselben Randbedingungen) auch ein \textit{starkes} Extremum. Da die Frage nach einem schwachen Extremum sich nach den klassischen Methoden im allgemeinen ohne weiteres entscheiden läßt, so ist durch diesen allgemeinen Satz die obengenannte Schwierigkeit behoben.