Über den \textit{Hilbert}schen Unabhängigkeitssatz beim \textit{Lagrange}schen Variationsproblem. (Q1483506)

Der Zweck dieser Arbeit ist, die verschiedenen Methoden und Resultate von \textit{A. Meyer, Hilbert, Bolza} und \textit{Hahn} betreffend die Übertragung des \textit{Hilbert}schen Unabhängigkeitssatzes auf das \textit{Lagrange}sche Problem von einem einheitlichen Gesichtspunkte aus zu betrachten. Sei irgendein Extremalenfeld eines \textit{Lagrange}schen Variationsproblems (mit \(n\) Unbekannten \(y_i\) und \(m\) Bedingungsgleichungen) gegeben; \(p_1,\dots,p_n\) seien die Gefällsfunktionen, \(\mu_1,\dots,\mu_m\) die Multiplikatorfunktionen dieses Feldes. Es wird zunächst ein System von \(n\) partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung für die \(p\) und \(\mu\) hergeleitet, die (zusammen mit den Bedingungsgleichungen) die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür darstellen, daß \(n+m\) Funktionen \(p\) und \(\mu\) Gefälls- und Multiplikatorfunktionen eines Extremalenfeldes seien: dies ist die Verallgemeinerung eines für das einfachste Problem von \textit{Beltrami} bewiesenen Resultates, das auch dort die natürlichste Grundlage für den Unabhängigkeitssatz bildet. Diese partiellen Differentialgleichungen zeigen sofort, daß, wenn man die \(\frac12n(n+1)\) Bedingungen dafür ansetzt, daß der Integrand des \textit{Hilbert}schen Integrals ein vollständiges Differential sei, die \(n\) auf die Variable \(x\) bezüglichen unter diesen Bedingungen eine Folge \(\frac12n(n-1)\) übrigen (bloß auf die Variablen \(y\) bezüglichen) Bedingungen sind. Es zeigt sich aber sofort, daß diese \(\frac12n(n-1)\) Bedingungen nur für einen einzigen festen Wert von \(x\) (nur auf einer einzigen Hyperfläche \(x=a\)) zu gelten brauchen, um überall erfüllt zu sein. Das liefert die Bedingungen dafür daß das \textit{Hilbert}sche Integral vom Wege unabhängig sei, in einer Form, aus der diese Bedingungen sowohl in der Form von \textit{A. Meyer}, wie in der von \textit{Hahn} sofort gewonnen werden können. Um diese Bedingungen in der Form von \textit{Hilbert} zu erhalten, braucht man nur die spezielle Hyperfläche \(x=a\) durch eine beliebige andere zu ersetzen, die von jeder Extremale geschnitten wird. -- Zum Schlusse beschäftigt sich die Arbeit mit der Aufgabe, durch einen gegebenen Punkt des Feldes eine Hyperfläche zu legen, die von allen Extremalen des Feldes transversal geschnitten wird, was bekanntlich nur dann möglich ist, wenn das Feld ein \textit{Meyer}sches ist.