Über einige Fragen, betreffend die Theorie der Maxima und Minima mehrfacher Integrale. (Q1483511)

Die Arbeit gibt einen sehr elegenten Abriß einiger Hauptpunkte aus der Theorie der Extrema mehrfacher Integrale in Parameterdarsellung, wobei die Analogie mit der \textit{Weierstraß}schen Theorie der Extrema einfacher Integrale in Parameterdarstellung stark hervortritt. Sei \[ (1)\quad x_i=x_i(u_1,u_2,\dots,u_n)\quad (i=0,1,\dots,n) \] eine \(n\)-dimensionale Fläche im \((n+1)\)-dimensionalen Raume der Koordinaten \(x_0,x_1,\dots,x_n\); sei ferner: \[ p_h=(-1)^h\left|\frac{\partial x_0}{\partial u_k},\cdots,\frac{\partial x_{h-1}}{\partial u_k},\frac{\partial x_{h+1}}{\partial u_k},\cdots,\frac{\partial x_n}{\partial u_k}\right|\quad (k=1,2,\dots,n), \] so daß die \(p_h\) proportional sind den Richtungskosinus der Normalen auf (1). Damit das Integral; \[ I=\int\varPhi\left(x_i,\frac{\partial x_i}{\partial u_k}\right)\,du_1\cdots du_n \] unabhängig sei von der speziellen Wahl der Parameter, ist notwendig und hinreichend, daß \(\varPhi\) die Form \(\varPhi=F(x_i,p_i)\) und in den \(p_i\) positiv-homogen von erster Ordnung sei. Daraus ergibt sich ein Darstellung der \(\frac{(n+1)(n+2)}2\) partiellen Ableitungen \(F_{p_ip_k}^{''}\) durch \(\frac{n(n+1)}2\) Ausdrücke \(\varPhi_{rs}\), die dem \textit{Weierstraß}schen \(F_1\) des einfachsten Problemes analog sind. Die erste Variation läßt sich auf die Form bringen: \[ \delta l=\pm\int\left|F_{p_1}^{'},\delta x_i,\frac{\partial x_i}{\partial v_1},\dots,\frac{\partial x_i}{\partial v_{n1}}\right|_{(i=0,1,\dots,n)}dv_1\cdots dv_{n-1}+\int T\sum_{i=0}^np_i\delta x_i\,du_1\cdots du_n, \] wo das erste Integral über den \((n-1)\)-dimensionalen Rand des betrachteten \(n\)-dimensionalen Flächenstückes zu erstrecken und \[ T=\sum_{i=0}^nF_{x_ip_i}^{''}\sum_{r,s=1}^n\varPhi_{rs}\sum_{h=0}^np_h\frac{ \partial ^2x_h}{\partial u_r\partial u_s} \] gesetzt ist. Hieraus ergibt sich die partielle Differentialgleichung der Extremalen: \(T=0\) und die Transversalitätsbedingung: \[ \sum_{h=0}^nF_{p_h}^{'}\pi_h=0, \] wenn \(\pi_0,\dots,\pi_n\) proportional den Richtungskosinussen eines gegebenen Flächenelementes sind. -- Es gelingt nun innerhalb eines Extremalenfeldes sehr leicht, das Analogen des \textit{Hilbert}schen Unabhängigkeitssatzes und des \textit{Kneser}schen Transversalensatzes zu beweisen und die Integraldifferenz durch die \(E\)-Funktion: \[ E(x_i,p_i,\overline p_i)=F(x_i,\overline p_i)\sum_{k=0}^n\overline p_kF_{p_k}^{'}(x_i,p_i) \] auszudrücken, woraus sich bei definitem Zeichen der \(E\)Funktion die bekannten hinreichenden Bedingungen ergeben. Endlich wird, in Analogie mit der \textit{Weierstraß}schen Verallgemeinerung des Kurvenintegrales, eine Verallgemeinerung des Begriffes des Flächenintegrales angedeutet.