Die komplexen Veränderlichen und ihre Funktionen. Fortsetzung der Grundzüge der Differential- und Integralrechnung, zugleich eine Einführung in die Funktionentheorie. (Q1483517)

Wir folgen im Referate der äußerst anerkennenden Rezension von \textit{O.Perron} im Arch. d. Math. u. Phys. (3) 19, 273-274. ``Ein ganz vorzügliches Werk, das sich in gleicher Weise durch den dargebotenen Stoff wie durch seinen leichtflüssigen Stil auszeichnet.'' Das erste Kapitel behandelt die komplexen Zahlen und ihre geometrische Deutung in der Ebene und auf der Kugel. Daran reihen sich längere Untersuchungen über Gruppen linearer Transformationen; besonders solche, welche einer Rotation der Kugel entsprechen, werden ausführlich behandelt: sie führen zu den Polyedergruppen. Auch die Modulgruppe wird herangezogen und ihr Fundamentalbereich festgestellt. Von diesen Untersuchungen wird einzig der Paragraph über Translationsgruppen später wieder gebraucht. Das zweite Kapitel bringt eine Reihe von Mittelwertsätzen über bestimmte Integrale, wobei die Funktionen komplex gedacht sind, die unabhängige Variable aber reell. Im dritten Kapitel wird in aller Ausführlichkeit der fundamentale Begriff der Ableitung erörtert; daneben kommen als Beispiele die Funktionen \(e^z\) und \(\log z\). Analytische Funktionen werden nach \textit{Riemann} definiert als solche, die eine Ableitung haben. Für die analytischen Funktionen gilt der \textit{Cauchy- Goursat}sche Integralsatz mit seinen Folgerungen; ihnen sind Kap. IV und V gewidmet. Als Integrationsweg werden dabei sehr allgemeine Kurven zugelassen, nicht bloß\ solche mit Tangente oder gar nur abteilungsweise analytische. Als Anwendung wird die im Innern eines Kreises harmonische Funktion bei vorgegebenen Randwerten bestimmt; die gleiche Aufgabe für ein beliebiges Oval statt des Kreises wird auf eine Integralgleichung zurückgeführt, deren Lösbarkeit sich zeigen läßt. Weiterhin kommen dann die gewöhnlichen Folgerungen des \textit{Cauchy-Goursat}schen Satzes: Die \textit{Taylor}sche und \textit{Maclaurin}sche Reihe, die Residuenrechnung mit Anwendung auf die Auswertung einiger bestimmten Integrale, die Anzahl der Nullstellen und Pole, ausgedrückt durch ein Randintegral, das Verhalten in der Umgebung einer isolierten singulären Stelle, Umkehrung von Potenzreihen usw. Das sechste Kapitel behandelt gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funktionen (Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit, \textit{Weierstraß}scher Doppelreihensatz). Dann folgt eine Einführung in die Theorie der elliptischen Funktionen, die trotz des beschränkten Raumes recht viel enthält: vor allem die \textit{Liouville}schen Sätze über Anzahl und Lage von Polen und Nullstellen im Periodenparallelogramm; sodann die Darstellung einer beliebigen meromorphen doppeltperiodischen Funktion durch die Zetafunktion und ihre Ableitungen, sowie die Sigmafunktion; schließlich die Berechnung elliptischer Integrale. Das letzte Kapitel endlich bringt die \textit{Mittag- Leffler}sche Darstellung von eindeutigen Funktionen mit vorgegebenen singulären Stellen sowie die \textit{Weierstraß}sche Produktdarstellung ganzer Funktionen. Spezielle Beispiele liefern die schon vorher betrachtete \textit{Weierstraß}sche \(\wp\)- und \(\sigma\)-Funktion; als weiteres Beispiel wird auch die Produktdarstellung von \(\sin z\) hergeleitet.