Elemente der Funktionentheorie. Vorlesungen, gehalten an der Universität Kopenhagen. (Q1483518)

Das Buch zerfällt in drei ungefähr gleichgroße Abschnitte: Der erste gibt eine Theorie der Funktionen reeller Veränderlichen. Das Rechnen mit rationalen Zahlen wird als bekannt vorausgesetzt; die Definition der irrationalen Zahlen und das Rechnen mit ihnen wird nach \textit{Cantor} eingehend behandelt. Auf Mengenlehre wird gerade soweit eingegangen, als es für den Zweck des Buches nötig ist. Stetigkeit, Differenzierbarkeit, bestimmtes und unbestimmtes Integral, das Operieren mit unendlichen Reihen usw. werden ausführlich erörtert; insbesondere wird häufig durch gut gewählte Beispiele die Tragweite der einzelnen Definitionen und Sätze beleuchtet. Der zweite Abschnitt bringt das Rechnen mit komplexen Zahlen, führt dann den Begriff der analytischen Funktion ein und gewinnt bald den \textit{Cauchy}schen Integralsatz unter der allgemeinen Voraussetzung \textit{Goursats}. Sodann werden die wichtigsten funktionentheoretischen Sätze unter steter Benutzung des \textit{Cauchy}schen Integralsatzes bewiesen. Insbesondere wird auch auf das Algorithmische (\textit{Weierstraß}scher Doppelreihensatz, \textit{Weierstraß}sche Produktdarstellung, \textit{Mittag-Leffler}sches Theorem, Potenzreihen u. a.) ausführlich eingegangen. Endlich kommt mit der Theorie der linearen Substitutionen und mit einem sehr kurzen Kapitel über konforme Abbildung auch das Geometrische zu Worte. Der dritte Abschnitt ist den elementaren Funktionen gewidmet; er behandelt die Exponentialfunktion, den Logarithmus, die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrungen und gibt ferner eine wegen ihrer allzu großen Knappheit und stellenweisen Unverständlichkeit mir zwecklos erscheinende Einführung in die Theorie der algebraischen und doppeltperiodischen Funktionen sowie der \(\varGamma\)-Funktion. Außerdem läßt sich der Verf. auf eine Anzahl weiterer Entwicklungen ein, welche bisher in der Analysis noch nicht das volle Bürgerrecht erworben haben. Der Verf. bewegt sich hier auf einem schon vielfach von ihm bearbeiteten Felde; die Schwierigkeiten solcher Neueinbürgerungen sind groß. Was \textit{Nielsen} in den vorliegenden ``Elementen'' in dieser Hinsicht gibt, scheint mir noch nicht genügend der Eierschale der Formeln entschlüpft zu sein, um ein tiefgehendes und durchgreifendes Verständnis zu vermitteln. Auch sonst hätte nach meinem Geschmack allerlei Formales und Errechnetes wegbleiben dürfen; dafür hätten sich an manchen Stellen die großen Zusammenhänge und leitenden Gesichtspunkte, das Prinzipielle und Fundamentale noch schärfer, als es geschehen ist, herausarbeiten lassen. Auch ließe sich manches in Disposition und Darstellung noch konziser zusammenfassen und enger verknüpfen. Einzelne Beweise sind unnötig verwickelt, andere für mein Empfinden zu sehr herausgerechnet. Die geometrische Seite der behandelten Fragen kommt gewöhnlich zu kurz. Ich gebe zu, daß\ ein Teil der hier gemachten Ausstellungen auf verschiedener Geschmacksrichtung beruhen mag. Nach der Vorrede entspricht die Auswahl des Stoffes den Minimalforderungen bei den Kopenhagener Universitätsprüfungen; nach meiner Überzeugung müßten unter dieser Anforderung sämtliche Königsberger Studenten in Kopenhagen durchfallen. Diese Überzeugung mag auch ein Grund dafür sein, daß\ ich eine größere Beschränkung und Vertiefung des Stoffes als einen Vorteil für ein einführendes Lehrbuch halten möchte. Das Streben des Verf. nach absoluter Strenge ist anzuerkennen; immerhin ist noch eine Anzahl Fehler stehen geblieben; an andern Stellen wird das Verständnis durch Mängel in \textit{Nielsens} Beherrschung der deutschen Sprache beeinträchtigt, gar nicht zu reden von jenen sprachlichen Verstößen, die den mathematischen Sinn nicht beeinflussen. Die vielen beigegebenen Aufgaben sind zum Teil recht hübsch, zum Teil aber für Studierende recht schwierig; eine kurze Anleitung zur Lösung oder eine genaue Literaturangabe, wo eine solche zu finden ist, wäre nicht selten erwünscht. Auch die zahlreichen historischen Notizen finde ich an sich sehr dankenswert; nur wird gar zu viel Nebensächliches mit Zitaten belegt, wodurch den historischen Hinweisen auf die wirklich wichtigen Probleme und bedeutenden Leistungen ein Teil ihres Wertes genommen wird. Den Einzelheiten, die ich an der Behandlungsweise des Stoffes durch \textit{Nielsen} auszusetzen habe, stehen größere Teile gegenüber, die ich für wohlgelungen halte. Alles in allem kann meines Erachtens das Studium des vorliegenden Buches Studierenden zur Ergänzung einer gehörten Vorlesung empfohlen werden.