Bedingungen des analytischen Charakters für reelle Funktionen reellen Arguments. (Q1483555)

Es werden in der Abhandlung notwendige und hinreichende Bedingungen dafür aufgestellt, daß\ erstens eine periodische reelle Funktion \(f(\alpha)\) einer reellen Variable \(\alpha\) oder zweitens eine nichtperiodische von \(-\infty\) bis \(+\infty\) integrable reelle Funktion \(f(\alpha)\) oder drittens eine innerhalb eines endlichen Intervalls \(-\pi<\alpha<+\pi\) erklärte stetige integrable Funktion \(f(\alpha)\) eine analytische Funktion von \(\alpha\) sei, welche im ersten und zweiten Falle in einem Streifen gegebener Breite \(\varDelta\) zu beiden Seiten der Achse des Reellen regulär sein soll, im dritten Falle in einem Bezirke, der zu beiden Seiten durch die Kurvengleichung \(\beta=\pm a(\alpha+\pi)^2 (\pi-\alpha)^2\) abgegrenzt wird. Der Verf. gewinnt diese Kriterien mittels gewisser Abbildungen der in Frage kommenden Gebiete, bei welchen das \(\alpha\)-Intervall in den vollständigen Einheitskreis übergeht, durch Betrachtung der Potenzreihenentwicklung des \textit{Poisson}schen Integrales. Wir begnügen uns, das Resultat im ersten Falle genauer zu bezeichnen: Es muß, wenn die Periode gleich \(2\pi\) angenommen wird, für jedes \(\lambda' <\varepsilon^\varDelta\) eine von \(\nu\) unabhängige endliche Schranke existieren, unter der die absoluten Beträge aller Größen \[ {\lambda'}^\nu \int_{-\pi}^{+\pi}f(\alpha)\cos \nu \alpha\, d \alpha, \quad{\lambda'}^\nu \int_{-\pi}^{+\pi}f(\alpha)\sin \nu \alpha\, d \alpha \] gelegen sind.