Über die \textit{Fourier}sche Entwicklung positiver Funktionen. (Q1483567)

Nach \textit{Carathéodory} (vgl. F. d. M. 38, 448, 1907 und das nachstehende Referat) gilt der Satz: Eine Potenzreihe \[ 1 + (a_1 + ib_1)z + (a_2 + ib_2)z^2+\cdots+(a_n + ib_n)z^n+\cdots \] ist dann und nur dann im Innern des Einheitskreises konvergent und besitzt darin einen positiven reellen Teil, wenn der Punkt des \(2n\)-dimensionalen Raumes mit den Koordinaten \(a_1, a_2, \dots, a_n; b_1, b_2, \dots, b_n\) in einem gewissen konvexen Körper \({\mathfrak K}_n\) liegt, und zwar für jedes \(n = 1, 2, 3, \dots\). Dabei bedeutet \({\mathfrak K}_n\) im Raume von \(2n\) Dimensionen den kleinsten konvexen Körper, der die Kurve mit der Parameterdarstellung \[ x_1=2\cos \vartheta, \dots, x_n=2\cos n \vartheta; \quad y_1=-2\sin \vartheta, \dots, y_n=-2\sin n \vartheta \] ganz enthält. Wie \textit{Toeplitz} bemerkt hat, läßt sich dieser Körper \({\mathfrak K}_n\) auch rein algebraisch festlegen. Ist nämlich \[ D_n=\begin{vmatrix} 2 & a_1+ib_1 & a_2+ib_2 & \cdots & a_n +ib_n\\ a_1-ib_1 & 2 & a_1+ib_1 & \cdots & a_{n-1}+ib_{n-1} \\ a_2-ib_2 & a_1-ib_1 & 2 & \cdots & a_{n-2}+ib_{n-2} \\ \hdotsfor5 \\ a_n-ib_n & a_{n-1}-ib_{n-1} & a_{n-2}-ib_{n-2} & \cdots & 2 \end{vmatrix} \] und \(H_n\) die \textit{Hermite}sche Form mit diesem Koeffizientenschema, so gilt der Satz, daß\ \(H_n\) für die Begrenzung des Körpers \({\mathfrak K}_n\) semidefinit ist, während das Innere von \({\mathfrak K}_n\) dadurch charakterisiert wird, daß\ \(H_n\) eigentlich-definit ist. Die Begrenzung des Körpers \({\mathfrak K}_n\) bildet einen Teil der \((2n-1)\)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit \(D_n=0\), während für das Innere von \({\mathfrak K}_n\) die Ungleichheiten \[ D_1>0,D_2>0, \dots,D_n>0 \] charakteristisch sind. Im Zusammenhang hiermit ergibt sich für \textit{Fourier}sche Reihen der Satz: Eine stetige Funktion \(f(x)\) ist dann und nur dann für \(0\leqq x \leqq 2\pi\) nirgends negativ, wenn ihre auf \textit{Fourier}sche Art gebildeten Koeffizienten \[ a_n=\frac {1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos nx \,dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\sin nx \,dx \] so beschaffen sind, daß\ die aus ihnen gebildeten \textit{Hermite}schen Formen \(H_1, H_2, \dots\) nicht-negative Formen sind.