Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen. (Q1483568)

\textit{Carathéodory} hatte in einer früheren Abhandlung [Math. Ann. 64, 95--115 (1907; JFM 38.0448.01)] gezeigt, daß\ die Reihe \[ U=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=0}^\infty r^n(a_n \cos n \vartheta+b_n \sin n \vartheta) \] nur dann eine harmonische Funktion \(U(r, \vartheta)\) darstellen kann, die für \(r > 1\) regulär und positiv ist, wenn die Koeffizienten \(a_n\) und \(b_n\) gewissen angebbaren Beschränkungen unterworfen sind. Insbesondere mußte der Punkt des \(2n\)-dimensionalen Raumes mit den Koordinaten \[ a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n \] notwendig im Innern oder höchstens auf der Begrenzung des kleinsten konvexen Körpers \(K_{2n}\) dieses Raumes liegen, der die Kurve mit der Parameterdarstellung \[ x_1=\cos \vartheta, y_1=\sin \vartheta, x_2=\cos 2\vartheta, y_2=\sin 2\vartheta, \dots, x_n=\cos n \vartheta, y_n=\sin n \vartheta \] enthält, und es galt der umgekehrte Satz: Wenn die Zahlen \(a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n\) die Koordinaten eines Punktes bedeuten, der nicht außerhalb des Körpers \(K_{2n}\) liegt, so existiert mindestens eine harmonische Funktion, die im Einheitskreise regulär und positiv ist, und deren Entwicklung an eine Reihe der Form \(U\) mit den gegebenen \(2n\) Koeffizienten beginnt. In der vorliegenden Arbeit wird eine andere Umkehrung desselben Satzes bewiesen, der für die Anwendungen von Bedeutung ist: Wenn die \(2n\) Koeffizienten \(a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n\) der Reihe \[ \frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^\infty r^n(a_n \cos n \vartheta+b_n \sin n \vartheta) \] die Koordinaten eines Punktes darstellen, der für jedes \(n\) im Innern des jeweiligen konvexen Körpers \(K_{2n}\) liegt, so stellt diese Reihe eine im Einheitskreise reguläre, positive harmonische Funktion dar. Weitere Untersuchungen beziehen sich auf die Begrenzung des Körpers \(K_2n\), für die \textit{Toeplitz} (vgl. das vorstehende Referat) eine rein algebraische Festlegung gefunden hatte. Der Übergang von der Parameterdarstellung der Begrenzung zur \textit{Toeplitz}schen Darstellung führt auf ein Gleichungssystem, das in der Literatur schon mehrfach behandelt worden ist und bei der Kanonisierung von binären Formen ungerader Ordnung, der mechanischen Quadratur und der Theorie der Kettenbrüche auftritt. Diese Bemerkung erlaubt es, das \textit{Toeplitz}sche Resultat abzuleiten, ohne von den quadratischen Formen mit unendlich vielen Veränderlichen Gebrauch zu machen.