Über den Zusammenhang der Extremen von harmonischen Funktionen mit ihren Koeffizienten und über den Picard-Landauschen Satz. (Q1483569)

Die Reihe \[ a_0+\sum_{n=1}^\infty r^n(a_n \cos n \vartheta+b_n \sin n \vartheta) \] möge im Kreise \(r<R\) konvergieren und dort eine harmonische Funktion \(U(r, \vartheta)\) darstellen; es sei \(M\) die obere, \(m\) die untere Schranke von \(U(r, \vartheta)\) für \(r<R\). Wird angenommen, daß\ von der Reihe nur die \(2n+1\) ersten Koeffizienten, also die reellen Konstanten \(a_0, a_1, a_2, \dots, a_n; b_1, b_2, \dots, b_n\) vorgeschrieben sind und außerdem der Wert des Radius \(R\), daß\ aber die übrigen Koeffizienten \(a_{n+1}, b_{n+1}, \dots\) bis auf die Beschränkung willkürlich bleiben, daß\ die Reihe mindestens für \(r<R\) konvergiert, so wird dadurch eine bestimmte Menge harmonischer Funktionen mit gemeinsamen Anfangskoeffizienten \(a_0, a_1, \dots, a_n; b_1, \dots, b_n\) erklärt. Unter diesen Voraussetzungen wird die Frage gestellt und beantwortet, welches das Maximum der unteren Grenze \(m\) dieser Funktionen innerhalb des Kreises \(r<R\) und welches das Minimum der oberen Grenze \(M\) dieser Funktionen an demselben Bereiche ist, und gezeigt, daß\ es zwei wohlbestimmte Funktionen jener Menge gibt, bei denen die gefundenen Maximal- und Minimalwerte wirklich erreicht werden. Eine Art Umkehrung dieses Problems ist das folgende. Es seien wiederum die \(2n+1\) ersten Koeffizienten gegeben, jedoch mit der Beschränkung, daß\ mindestens eine der Zahlen \(a_1, \dots, a_n; b_1, \dots, b_n\) von Null verschieden ist. Ferner sei eine Zahl \(m'<a_0\) gegeben. Gesucht wird der größte Wert von \(R\) mit der Eigenschaft, daß\ mindestens eine Reihe \[ a_0+\sum_{k=1}^\infty r^k(a_k \cos k \vartheta+b_k \sin k \vartheta) \] mit den gegebenen Anfangskoeffizienten existiert, die für \(r<R\) konvergiert, und deren untere Schranke \(m\) im Gebiete \(r<R\) nicht kleiner ist als die gegebene Zahl \(m'\). Ein entsprechendes Problem entsteht, wenn eine Zahl \(M'>a_0\) gegeben ist und verlangt wird, daß\ für \(r<R\) die obere Grenze einer mit den gegebenen \(2n+1\) Koeffizienten beginnenden Reihe die Zahl \(M'\) nicht übersteigt. Analoge Fragen ergeben sich, wenn die Schar konzentrischer Kreise durch eine Schar ähnlicher, ähnlich liegender konvexer Kurven ersetzt wird, die alle den Punkt \(r=0\) im Innern enthalten. Sind ferner von einer Potenzreihe \[ f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2+\alpha_3x^3+\cdots+\alpha_nx ^n+\cdots \] der komplexen Veränderlichen \(x\) die \(n+1\) ersten Koeffizienten \(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\) gegeben, und konvergiert die Reihe für \(|x|<R\), so wird der kleinste Wert ermittelt, den die obere Schranke des absoluten Betrages \(f(x)\) bei beliebiger Wahl der übrigen Koeffizienten \(\alpha_{n+1}, \dots\) für \(|x|<\)R annehmen kann. Und sind wiederum die \(n+1\) ersten Koeffizienten gegeben, jetzt aber \(\alpha_0\) von Null und Eins und mindestens eine der Zahlen \(a_1, a_2, \dots, \alpha_n\) von Null verschieden, so wird der Radius des größten Kreises mit dem Mittelpunkte \(x=0\) gefunden, innerhalb dessen die Potenzreihe \(f(x)\) konvergiert und eine Funktion darstellt, die von Null und Eins verschieden ist. Endlich werden Fragen behandelt, bei denen die ganze unendliche Entwicklung einer harmonischen Funktion oder einer Potenzreihe gegeben ist. Ist zum Beispiel die unendliche Potenzreihe \(f(x)\) vorgelegt, die einen von Null verschiedenen Konvergenzradius besitzt, ist \(\alpha_0\) verschieden von Null und Eins und die Funktion \(f(x)\) keine Konstante, so wird der Radius \(R\) eines Kreises \(|x|=R\) bestimmt, so daß\ \(f(x)\) für \(|x|<R\) regulär und von Null und Eins verschieden ist und auf dem Umfange des Kreises \(|x|=R\) entweder eine singuläre Stelle besitzt oder einen der Werte Null und Eins annimmt. Die Methode, auf die sich die Lösung der angeführten und einiger anderer Probleme gründet, ist im wesentlichen dieselbe, deren sich Carathéodory in seiner Abhandlung über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen bedient hatte; vgl. das vorhergehende Referat JFM 42.0429.01.