Über die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung. (Q1483577)

Das Hauptresultat des ersten Teiles dieser inhaltreichen Göttinger Preisarbeit und Dissertation läßt sich so aussprechen. Bezeichnet man als ``Fehler'', mit dem in einem vorgegebenen Intervall \(a \dots b\) ein Polynom \(n\)ten Grades \(P_n\) eine gegebene stetige Funktion \(f(x)\) darstellt, das Maximum von \(|f-P_n|\) in diesem Intervall und als ``beste Annäherung'' von \(f\) durch ein solches Polynom diejenige, bei welcher der Fehler möglichst klein wird, so läßt sich bis zu einem gewissen Grade aus den Stetigkeitseigenschaften der Funktion \(f\) ablesen, wie stark dieser kleinste erreichbare Fehler \( \varphi(n)\) mit wachsendem \(n\) gegen \(0\) geht. Nämlich es gibt eine absolute Konstante \(\varLambda\) (die auch unabhängig von der Funktion \(f\) ist) von folgender Art: Ist \(\omega (\delta)\) eine zu \(f\) gehörige Funktion der Beschaffenheit, daß\ aus \(|x_1-x_2|\leqq \delta\) immer \(|f(x_1)-f(x_2)| \leqq \omega(\delta)\) folgt, so ist \(\varphi(n) \leqq \varLambda \cdot \omega \left( \frac{b-a}{n} \right)\). Besonders wichtig ist der Fall, wo \(\omega(\delta)=\text{Const}\cdot\delta\) ist (\textit{Lipschitz} - Bedingung). Im zweiten Abschnitt werden ähnliche Sätze für Approximation durch trigonometrische Summen aufgestellt. Im dritten Abschnitte wird bezüglich der Funktion \(f(x)=|x|\) festgestellt, daß\ für sie \(\varphi(n)\) an den Grenzen \(\frac{a}{n \lg n}\) und \(\frac{A}{n}\) liegt, wo \(a, A\) Konstanten bedeuten; im vierten Abschnitt wird u. a. gezeigt, daß\ es Funktionen \(f\) gibt die der \textit{Lipschitz} Bedingung genügen, für die aber \(n \cdot \varphi(n)\) nicht gegen \(0\) konvergiert. (Die letzten Resultate sind inzwischen von S. \textit{Bernstein} überholt worden.) Im 5. Abschnitt werden die Untersuchungen auf Funktionen mehrerer Veränderlichen ausgedehnt. Als methodisches Hülfsmittel der Untersuchung dient in der ganzen Arbeit vor allem die aus der \textit{Fourier} - Entwicklung der Funktion \(f(x)\) sich ergebende \(n\)-te Partialsumme, wenn man zur Summation \textit{Hölder-Cesàro}sche Mittel vierter Ordnung benutzt.