Properties of logarithmico-exponential functions. (Q1483585)

Diese Arbeit ist als eine Ergänzung des vom Verf. unter den Cambridge-Tracts veröffentlichten Büchleins ``Orders of infinity etc.'' aufzufassen (F. d. M. 41, 303, 1910). Die Funktionen, welche betrachtet werden (\(L\)-Funktionen oder Logarithmicoexponentialfunktionen), sind solche reellen eindeutigen Funktionen, welche erhalten werden können, wenn man eine endliche Anzahl von Malen rein algebraische Operationen, \(\lg (..)\) und \(e^{(..)}\), auf die Variable \(x\) und relle Konstanten anwendet. Die ``Ordnung'' einer Funktion beurteilt sich danach, wie oft notwendig zu ihrer Darstellung die beiden transzendenten Operationen benötigt werden. Jede \(L\)-Funktion ist von einem hinreichend hohen \(x\) Wert ab stetig, von konstantem Vorzeichen und monoton und konvergiert für \(x=\infty\) gegen \(0,\infty\) oder einen bestimmten Limes. Für zwei (monoton zunehmende) \(L\)-Funktionen \(f, \varphi\) trifft immer einer der drei Fälle zu: \(f\) wächst stärker als \(\varphi\) \(\left(\lim_{x=\infty} \frac{f}{\varphi}=\infty; f \succ \varphi \right)\), \(f\) wächst ebenso stark wie \(\varphi\) \(\left(\lim_{x=\infty}\frac{f}{\varphi}\quad \text{endlich und}\quad \neq 0 \right)\) oder \(f\) wächst schwächer als \(\varphi \left(\lim_{x=\infty}\frac{f}{\varphi}=0 \right)\); so daß\ man die \(L\)-Funktionen hinsichtlich der Art ihres Wachstums miteinander \textit{vergleichen} kann. Es werden jetzt Sätze von folgender Art bewiesen: Eine \(L\)-Funktion der \(n\)-ten Ordnung, welche \((l_{n-1} x)^{-\delta}\prec f \prec (l_{n-1} x)^\delta\) erfüllt, für jedes noch so kleine positive \(\delta\) (der untere Index \(n-1\) bezeichnet die \((n-1)\)-malige Wiederholung der Operation \(\lg = l\)), stimmt hinsichtlich ihres Verhaltens für \(x=\infty\) genau überein mit einer rationalen Potenz von \(l_n x\). Ferner wird in einer für alle \(L\)- Funktionen ohne Ausnahme gültigen und vollständigen Weise das Wachstum des Integrals einer solchen Funktion mit dem der Funktion selbst in Zusammenhang gebracht. Auch ergibt sich für die \(L\)-Funktionen eine bestimmte Wachstumsskala; dabei stellt sich z. B. für die \(L\)-Funktionen erster Ordnung heraus, daß\ sie alle von der Form: \[ e^{Ax(1+\varepsilon)}\quad \text{oder} \quad Ax^s(\lg x)^t (1+\varepsilon) \] sind (\(A\)=const., \(s\) und \(t\) rationale Konstanten, \(\lim_{x=\infty}\varepsilon(x)=0\)). Es folgen Beispiele von Funktionen \(F\) deren Art zu wachsen mit keiner \(L\)- Funktion übereinstimmt, aber mit Bezug auf die alle \(L\)- Funktionen in solche zerfallen, die schwächer, und solche, die stärker als \(F\) anwachsen. Die Untersuchungen hängen zusammen mit einer Arbeit von \textit{Liouville} über elementare Transzendenten (Journ. de Math. (1) 2) und den Betrachtungen, die \textit{Borel} über das Wachstum von Funktionen angestellt hat.