Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. II. Teil. Die zentralen Uniformisierungsprobleme. (Q1483615)

Diese Abhandlung ist die Fortsetzung der in Bd. 138 desselben Journals erschienenen Abhandlung des Verf.: ``Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. I Teil: Das allgemeine Uniformisierungsprinzip'' (F. d. M. 41, 482, 1910). In gegenwärtiger Abhandlung werden auf Grund des im I. Teil begründeten \textit{allgemeinen Uniformisierungsprinzipes} (zuerst mitgeteilt in Göttinger Nachrichten 1908 und Römischer Kongreß\ 1908) speziell diejenigen zu einer beliebigen analytischen Kurve \((x, y)\) gehörenden Uniformisierungstranszendenten bestimmt, bei welchen, allgemein zu reden, die Funktionen \(x(t)\) und \(y(t)\) simultan eindeutige \textit{automorphe Funktionen mit einem Grenzkreise oder Symmetriekreise werden}. Wird der Kreis als Achse des Reellen normiert, so werden die erwähnten automorphen Funktionen solche Funktionen, die bei einer Gruppe reeller Substitutionen simultan ungeändert bleiben. \textit{Poincaré} bezeichnet diese Funktionen in seiner Abhandlung ``Sur l'uniformisation des fonctions analytiques'' in Acta Math, 31, 1907, als ``fonctions fuchsoïdes'' in Analogie zu den von ihm früher, 1882, als ``fonctions fuchsiennes'' bezeichneten Funktionen). Es handelt sich wesentlich um die ausführlichere Begründung der vom Verf. in seiner ersten Mitteilung ``Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven'' (Gött. Nachr. 1907) aufgestellten Uniformisierungstheoreme, welche sich zum Teil auf beliebige reelle oder komplexe analytische Kurven, zum Teil nur auf beliebige reelle analytische Kurven beziehen. Diese Theoreme stellen die naturgemäße und vollständige Ausdehnung der vom Verf. in der Abhandlung ``Über Uniformisierung der algebraischen Kurven. I.'' (Math. Ann. 67, 1909) begründeten Uniformisierungstheoreme auf beliebige analytische Kurven dar, namentlich des von \textit{Klein} (Math. Ann. 20) und \textit{Poincaré} (Acta Math. 1 und 4) entdeckten fundamentalen Grenzkreistheorems. War das letztgenannte Theorem insbesondere bei der Aufstellung der erwähnten, auf beliebige reelle oder komplexe analytische Kurven sich beziehenden Uniformisierungstheoreme vorbildlich, so stellen die letzteren die Verallgemeinerung des von \textit{Fricke} und \textit{Koebe} aufgestellten, mit der \textit{Klein}schen Unterscheidung der orthosymmetrischen und diasymmetrischen \textit{Riemann}schen Flächen zusammenhängenden Hauptkreistheorems der reellen algebraischen Kurven dar. Der Kreis der in der Abhandlung behandelten Uniformisierungsprobleme wird auch durch die Bemerkung charakterisiert, daß\ diese Probleme alle diejenigen Uniformisierungsprobleme darstellen, bei welchen die zugehörenden, eigentlich kontinuierlichen linearen Substitutionsgruppen als diskontinuierliche Bewegungsgruppen der absoluten Geometrie (\textit{Riemann}sche, euklidische, im allgemeinen \textit{Bolyai-Lobatschefskij}sche Geometrie) mit endlich oder unendlich vielen Gruppenerzeugenden interpretiert werden können. Umgekehrt gibt die Uniformisierung ein Mittel, alle eigentlich diskontinuierlichen Bewegungsgruppen der nichteuklidischen Geometrie zu definieren. \textit{Inhaltsübersicht}: Einleitung. - Formulierung der zentralen Uniformisierungsprobleme \(A, B, C, D, E\). - Die Natur der Überlagerungsflächen \(\varPhi, \varPhi', \varPhi_s, \varPhi'_s, \varPhi''_s\) und der Unitätssatz. - Konstruktion der Überlagerungsflächen \(\varPhi, \varPhi', \varPhi_s, \varPhi'_s, \varPhi''_s\) - Existenz der gesuchten Uniformisierungstranszendenten; zugeordnete Gruppe und unabhängiges Erzeugendensystem derselben. - Die Alternative des euklidischen und nichteuklidischen Falles. - Der Fall der algebraischen Kurven: Konstruktion der Überlagerungsflächen; die Alternative des euklidischen und nichteuklidischen Falles. - Beziehung der zentralen Uniformisierungsprobleme zu den nichteuklidischen kontinuierlichen Bewegungsgruppen.