Zur Transformation der automorphen Funktionen. (Q1483619)

Obwohl es längst bekannt ist, daß\ für diejenigen automorphen Funktionen, deren Gruppen ein arithmetisch erkennbares Bildungsgesetz mit dem Charakter der Ganzzahligkeit besitzen, nach dem Vorbilde der elliptischen Modulfunktionen eine Transformationstheorie ausgebildet werden kann, war diese Tatsache doch noch keiner genaueren Prüfung unterzogen worden. Der Verf. hat es unternommen, nach dieser Richtung hin vorzugehen, indem er den Ansatz der Transformation auf eine solche Gruppe in Anwendung brachte, die sicher mit der Modulgruppe nicht kommensurabel ist, und zwar bildet den Ausgangspunkt der reelle quadratische Zahlkörper \(\varOmega\) mit der Basis \([1, \omega]\), unter \(\omega\) die reelle ganze algebraische Zahl \(\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})\) verstanden. Sind alsdann \(A, B, C, D\) ganze Zahlen von \(\varOmega\), so bildet die Gesamtheit der Substitutionen \[ (T)\quad \zeta'=\frac{(A+B \sqrt{\omega})\zeta +(C+D\sqrt {\omega})}{(-C+D \sqrt{\omega})\zeta+(A-B\sqrt{\omega})} \] mit den Determinanten 2 und 4 eine Gruppe, die sich als identisch mit der Gruppe \(\varGamma\) der Signatur (0, 3; 2, 4, 5) erweist. Die Hauptfunktion \(J(\zeta)\) der Gruppe \(\varGamma\) wird so gewählt, daß\ sie in den Ecken des Ausgangsdreiecks die Werte 0, 1, \(\infty\) annimmt. Der Ansatz der Transformation vollzieht sich nunmehr so, daß\ auf \(\zeta\) eine Substitution \(T\) mit ganzzahligen Koeffizienten \(A, B, C, D\) des Körpers \(\varOmega\) ausgeübt wird, deren Determinante \(m\) eine von 1, 2, 4 verschiedene positive ganze Zahl des Körpers ist. Die Funktion \(J'=J(\zeta')\) gehört als Hauptfunktion zur transformierten Gruppe \(\varGamma'=T^{-1}\varGamma T\), die sich als mit der ursprünglichen Gruppe \(\varGamma\) kommensurabel erweist; die gemeinsame Untergruppe \(\varGamma_\mu\) von \(\varGamma\) und \(\varGamma'\) ist durch Kongruenzen nach dem Modul \(m\) definierbar und hat in \(\varGamma\) und \(\varGamma'\) den endlichen Index \(\mu\); sie möge in üblicher Weise als Kongruenzuntergruppe der Stufe \(m\) bezeichnet werden. Zwischen \(J\) und \(J'\) besteht demnach eine algebraische Relation, die ``Transformationsgleichung'' der automorphen Funktion \(J(\zeta)\) für den ``Transformationsgrad'' \(m\), die in \(J\) und \(J'\) vom Grade \(\mu\) ist; der Transformationsgrad \(m\) braucht hier keine rationale ganze Zahl zu sein. Diese Transformationsgleichung ist das Analogon der Modulargleichung in der Lehre von den elliptischen Funktionen und besitzt eine entsprechende Theorie. Insbesondere gilt der Satz: Die Hauptkongruenzgruppe der Stufe \(m\) liefert durch ihren Diskontinuitätsbereich die \textit{Riemann}sche Fläche für die \textit{Galois}sche Resolvente der Transformationsgleichung. Es folgt die Durchführung des allgemeinen Ansatzes für den Fall \(m=3\). Die gemeinsame Untergruppe \(\varGamma_{10}\) von \(\varGamma\) und \(\varGamma'\) ist hier die durch die Bedingung \[ D \equiv (\omega-1)B \quad (\text{mod.}3) \] erklärte Kongruenzuntergruppe der Stufe 3. Die Aufstellung ihres Diskontinuitätsbereichs gestaltet sich ziemlich umständlich; er ist aus 10 Doppeldreiecken zusammengesetzt. Die weitere Rechnung geschieht, indem zunächst nach der Funktionaldeterminantenmethode die Relation zwischen \(J(\zeta)\) und der Hauptfunktion \(\tau(\zeta)\) der \(\varGamma_{10}\) hergestellt und darauf die bilineare Relation zwischen \(\tau\) und \(\tau'\) ermittelt wird. Die Transformationsgleichung \(f(J, J')=0\) läßt sich dann auffassen als Ergebnis der Elimination von \(\tau\) und \(\tau'\) aus den Gleichungen zwischen \(\tau\) und \(\tau', J\) und \(\tau\) und der entsprechenden Gleichung zwischen \(J'\) und \(\tau'\); das System dieser drei Gleichungen dient, ähnlich wie bei den Modulargleichungen, als Ersatz für die Transformationsgleichung, die als eine in \(J\) und \(J'\) auf den zehnten Grad steigende symmetrische algebraische Gleichung erscheinen würde.