Note sur les fonctions de \textit{Bernoulli} (Extrait d'une lettre à F.\textit{Gomes Teixeira}). (Q1483623)

Zuerst wird ein Satz von Éd. \textit{Lucas} in folgender Form verallgemeinert: Die \textit{Bernoulli}schen Funktionen \(\varphi_m(x)\) genügen den Bedingungen \[ \varphi_{2n}(x)=\varPhi_n(x^2+x),\quad \varphi_{2n-1}(x) =(2x+1)\varPsi_n(x^2+x), \] wo \(\varPhi_n(x)\) und \(\varPsi_n(x)\) zwei ganze Polynome \(n\)-ten Grades in \(x\) sind und der Bedingung genügen \(\varPsi_{n-1}(x)=\varPhi'_n(x)\). Sodann beschäftigt sich der Verf. mit der Aufgabe, solche ganzen Polynome \(f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n\) zu bestimmen, für welche die Beziehungen gelten \(f(x)=F(x^2+x), f(x)=(2x+1)F(x^2+x)\).