Über einen zahlentheoretischen Satz und seine Anwendung auf die hypergeometrische Reihe. (Q1483634)

Die Zahl \(m=60\) hat folgende Eigenschaft: die \(\frac{1}{2}\varphi(60)=8\) zu 60 teilerfremden Restklassen mod. 60, deren Elemente \(<\frac{1}{2}\cdot 60=30\) sind, also die Restklassen 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, gehen durch Multiplikation mit \(k=11\), von der Reihenfolge abgesehen, in sich selbst über. Der \(\S\) 1 der vorliegenden Arbeit stellt sich die rein zahlentheoretische Frage, für welche \(m\) es eine Zahl \(k\) gibt, so daß\ das entsprechende stattfindet: die \(\frac{1}{2}\varphi(m)\) zu \(m\) teilerfremden Restklassen mod. \(m\), deren Elemente \(\leqq \frac{1}{2}m\) sind, gehen durch Multiplikation mit einer bestimmten Zahl \(k\), von der Reihenfolge abgesehen, in sich selbst über. Es ergibt sich, daß\ es, von gewissen selbstverständlichen Fällen abgesehen (z.B. für jedes \(m\) leistet \(k=1\) das Verlangte), nur vier Fälle gibt, nämlich (12, 3), (20, 3), (24,3) und (60, 11); für \(m>60\) gibt es also kein nicht-triviales Zahlenpaar mehr von der genannten Art. Die \(\S\S\) 2-4 bringen dies Ergebnis im Zusammenhang mit dem \textit{Eisenstein-Heine}schen Satze: wenn die Potenzreihe \(\varSigma c_n x^n\) mit rationalen Koeffizienten Element einer algebraischen Funktion ist, so gibt es eine ganze Zahl \(q\) derart, daß\ \(c_n q^n\) für allen \(n \geqq1\) ganz ist. Auf diese Weise läßt sich zeigen, daß\ in gewissen unendlich vielen Fällen die hypergeometrische Reihe eine transzendente Funktion ihres vierten Elementes darstellt. Es wird also ein Teil der bekannten \textit{Schwarz}schen Ergebnisse rein arithmetrisch bewiesen. Endlich wird auch das Problem, alle Fälle zu finden, in denen \(F(\alpha, \beta, \gamma, x)\) mit den Nebenbedingungen, daß\ \(\alpha, \beta, \gamma, \gamma-\alpha, \gamma-\beta\) rational aber nicht ganz sind, algebraisch ist, auf eine rein arithmetische Fragestellung (verwandt mit der in \(\S\) 1 gelösten) zurückgeführt.