Über Beziehungen zwischen algebraischen Gebilden vom Geschlechte drei und vier. (Q1483645)

Wenn man ein algebraisches Gebilde vom Geschlecht 4 unverzweigt doppelt überdeckt, so besitzt das neu entstehende Gebilde das Geschlecht 7. Außer den ursprünglich existierenden, überall endlichen Integralfunktionen gibt es auf dem neuen Gebilde noch drei linear unabhängige Integrale erster Gattung, deren Integranden Wurzelfunktionen zweiter Ordnung und zweiter Stufe des Geschlechtes \(p=4\) sind, und nach allgemeinen \textit{Wirtinger}schen Sätzen kann man mit ihnen nach passender Normierung Thetafunktionen von drei Variablen bilden; diese aber sind bedingungslos \textit{Riemann}sche und definieren ein algebraisches Gebilde vom Geschlecht 3. Entsprechend den 255 Möglichkeiten unverzweigter Doppelüberdeckung, bzw. den 255 Systemen von Wurzelfunktionen, gibt es ebensoviele algebraische Gebilde vom Geschlecht 3, die zu einem \(p=4\) gehören. Mit den algebraisch-geometrischen Beziehungen dieser neuen Gebilde zu ihrem gemeinsamen Träger beschäftigt sich die Arbeit des Verfassers. Der geometrische Ausgangspunkt ist eine singularitätenfreie Kurve vierter Ordnung. Wenn man auf ihr eine eindimensionale lineare Punktquadrupelschar herausgreift, welche nicht zu sich selbst residual ist, so erfüllt die zu dieser Korresidualschar gehörige Diagonaltripelschar eine Kurve sechster Ordnung mit sechs Doppelpunkten in den Ecken des Vierseits der vier Doppelgeraden jenes \(\infty^3\) linearen Kegelschnittsystems \(\varSigma_3\) das das \(\infty^2\), aber nicht lineare System \(\varSigma_2\) enthält, deßsen Kegelschnitte die \(C_4\) in zwei Quadrupeln der eben erwähnten Korresidual- und Residualschar schneiden. Wenn man \(\varSigma_3\) auf einem linearen Punkt-\(R_3\) abbildet, so entspricht der \(\varSigma_2\) eine \(F_2\), und wenn man diese mit der \(F_3^{(4)}\) (Fläche dritter Ordnung mit vier Doppelpunkten), dem Ort der zerfallenden Kegelschnitte von \(\varSigma_3\), schneidet, so erhält man eine Raumkurve sechster Ordnung, die der ebenen \(C_6\) ein-eindeutig entspricht. Die ebene \(C_6\) und damit auch die räumliche \(C_6\) stehen nun zu der \(C_4\) gerade in der Beziehung, die wir eingangs erwähnt haben, und die durch Wurzelfunktionen vermittelt wird. Das wird durch Heranziehung einer Arbeit von \textit{Hurwitz} bewiesen. Es gibt also 255 \(C_4\) die zu einer \(C_6\) in der erklärten Weise gehören. Als Hauptergebnis formulieren wir: Die \(C_6\) des \(R_3\) ist definiert durch den vollständigen Schnitt einer \(F_2\) und einer \(F_3^{(4)}\). In dem \(\infty^4\), linearen System \[ (1) \quad F_3^{(4)}+aF_2=0 \] der Flächen dritter Ordnung, auf denen die \(C_6\) liegt muß\ es mindestens 255 \(F_3^{(4)}\) geben, da jede \(C_4\), die zu der \(C_6\) gehört, eine solche definiert, und weiter zeigt sich, daß\ es im System (1) genau 255 \(F_3^{(4)}\) gibt, so daß\ diese geradezu als Repräsentanten der Gebilde \(p=3\) angesehen werden können.