Streckenrechnung und projektive Geometrie. (Q1483684)

Der Verf. benutzt für die Begründung der projektiven Geometrie die Verknüpfungs- und Anordnungsaxiome und das Parallelenpostulat, sowie den sogenannten \textit{Pascal}schen Satz für ein beliebiges Geradenpaar. Unter diesen Voraussetzungen wird die Entwicklung besonders vereinfacht, wenn man zunächst ohne Benutzung der letzten Voraussetzung die Vektoraddition und eine Theorie der Verhältnisse paralleler Strecken ableitet. Diese Theorie kann dann ohne weiteres projektiv erweitert werden, wenn man statt der unendlich fernen Ebene irgendeine Ebene als Fluchtebene annimmt. Man erhält so die Theorie der ``perspektivischen Verhältnisse''. Daraufhin ist es dann leicht, das Doppelverhältnis für eine bestimmte Fluchtebene einzuführen und der \textit{Pascal}sche Satz (die letzte Voraussetzung) liefert nun den Nachweis daß\ die Definition ganz unabhängig ist von der Wahl der Fluchtebene. Man kann nun wieder zunächst für eine bestimmte Fluchtebene die Addition und Multiplikation der ``Würfe'' durch die Addition und Multiplikation der zu den ``Würfen'' gehörenden Doppelverhältnisse definieren und zeigen daß\ diese Operationen den gewöhnlichen Gesetzen gehorchen. Sodann wird der Beweis geführt, daß\ diese Verknüpfung unabhängig von der Wahl der Fluchtebene ist. Es zeigt sich, daß\ die Theorie gerade durch die Variabilität der Fluchtebene ``eine große Geschmeidigkeit'' bekommt, wie dies besonders im 3. Abschnitt hervortritt, der ``die analytische Geometrie der reinprojektiven Dreieckskoordinaten'' und die ``\textit{Möbius}schen Netze enthält. Die rationalen Netze sind ja unabhängig vom \textit{Pascal}schen Satz allein mit den Verknüpfungs- und Anordnungsaxiomen zu begründen. Eine wesentliche Rolle spielen hier die harmonischen Punkte (aus denen man die projektive Skala aufbaut). Das wird im 4. Abschnitt dargelegt. In dem Anhang werden unter anderem die der Verwandlung der Dreiecke in inhaltsgleiche entsprechenden affinprojektiven Transformationen behandelt. Diese interessante Abhandlung besitzt den Vorzug, daß\ sie sehr ausführlich gehalten ist, um ``gar nichts zweifelhaft zu lassen und den Zugang zur Theorie möglichst bequem zu gestalten''.