Über unendliche diskontinuierliche Gruppen. (Q1483698)

Behandelt werden nur solche Gruppen, die durch eine endliche Anzahl von Elementen, zwischen denen endlich viele Relationen bestehen, erzeugt werden können. In der Einleitung werden die \textit{drei Fundamentalprobleme} für solche Gruppen aufgestellt: es werden Methoden gesucht, um 1. zu entscheiden, ob irgend ein durch seine Zusammensetzung aus den Erzeugenden gegebenes Element der Identität gleich ist (Identitätsproblem); 2. zu entscheiden, ob \(S\) und \(T\) ineinander transformierbar sind (Transformationsproblem); 3. zu entscheiden, ob zwei solche Gruppen isomorph sind (Isomorphieproblem). Im 2. Kapitel werden diese Probleme erledigt für den Fall, daß\ in den sie definierenden Relationen zwischen den Erzeugenden jede Erzeugende höchstens zweimal vorkommt. Um dieses Ziel zu erreichen, werden im 1. Kapitel die Fundamentalgruppen der geschlossenen Flächen untersucht, aus denen, wie sich zeigen läßt, die obigen Gruppen zusammengesetzt werden können. Jeder Flächenkurve ist ein Element der Fundamentalgruppe zugeordnet, zwei mit Festhaltung eines Punktes stetig ineinander transformierbaren Kurven identische Elemente, zwei ineinander stetig transformierbaren Kurven zwei ineinander transformierbare Elemente. Wesentlich für die Untersuchung ist die Einführung der \textit{Gruppenbilder}, die in diesem Falle durch reguläre Polygonnetze der hyperbolischen Ebene darstellbar sind. Besonders einfach wird das Transformationsproblem in dem Falle der zweiseitigen Flächen vom Geschlecht 1 und der einseitigen Flächen mit der Zahl \(k=2\). Eine Lösung für den allgemeinen Fall wird geliefert durch die eingehendere Untersuchung der geometrischen Eigenschaften der betreffenden Polygonnetze. Von Wichtigkeit auch für allgemeinere Probleme sind die Betrachtungen über die topologischen Eigenschaften, die die allgemeinsten zu diesen Gruppen gehörenden Gruppenbilder besitzen. Im 3. Kapitel werden höhere Gruppen untersucht. Es ist leicht, zu zeigen, daß\ jede Gruppe in eine solche Form gebracht werden kann, daß\ in den definierenden Relationen jede Erzeugende höchstens dreimal vorkommt. Es wird für die Gruppe, die zu der Kleeblattschlinge gehört (s. F. d. M. 41, 543, 1910), ein Gruppenbild angegeben, das aus einem regulären Netz eines nichteuklidischen Raumes besteht, und mit Hülfe dieser Konstruktion das Transformationsproblem für diese und verwandte Gruppen gelöst.