Über die Bestimmung der Kegelschnitte, welche durch drei gegebene Punkte gehen und einen gegebenen Kegelschnitt oskulieren. (Q1483925)

Gegeben sind drei Punkte \(A, B, C\) und ein Kegelschnitt \(k\). Um jene Kegelschnitte zu finden, welche durch \(A, B, C\) gehen und \(k\) oskulieren, suche man den Kegelschnitt, der \(k\) in einem willkürlich gewählten Punkte \(P\) oskuliert und durch \(A\) und \(B\) geht. Dieser schneidet \(k\) noch in einem Punkte \(P'\). Dann gibt es nach \textit{Steiner} drei Kegelschnitte, die durch \(P', B, C\) gehen und \(k\) in einem von \(P'\) verschiedenen Punkte oskulieren. Ordnet man die drei Oskulationspunkte \(P_1, P_2, P_3\) dem Punkte \(P\) zu, so besteht zwischen jedem von ihnen und \(P\) eine drei-dreideutige Zuordnung. Die Anzahl der gesuchten Kegelschnitte ist gleich der Anzahl der Doppelelemente dieser Zuordnung, und die Doppelpunkte sind die gesuchten Oskulationspunkte. Die Konstruktion dieser Kegelschnitte ist daher im allgemeinen eine Aufgabe sechsten Grades. Liegen zwei der drei Punkte \(A, B, C\) auf einer Tangente von \(k\), so ist der Berührungspunkt ein doppeltzählender Doppelpunkt der Zuordnung. Liegen nun z.B. \(A\) und \(B\) auf einer Tangente und \(A\) und \(C\) auf einer zweiten, so sind außer den Berührungspunkten noch zwei Doppelpunkte vorhanden. Die Zuordnung ist in diesem Falle eineindeutig, und zwar projektiv; die beiden Doppelpunkte lassen sich mit Lineal und Zirkel konstruieren. Diese Konstruktion kann so eingerichtet werden, daß\ sie auch ausführbar bleibt, wenn \(A\) und \(B\) oder \(A\) und \(C\) oder auch beide Punktpaare gleichzeitig konjugiert- imaginär sind.