Die \textit{Cesàro}schen Kurven. (Q1484141)

``Wenn das Hauptdreikant einer Raumkurve sich längs der Kurve bewegt, so gibt es immer gerade Linien, und zwar \(\infty^1\) euklidische und zwei isotrope Geraden, die mit dem Dreikant fest verbunden sind, und von denen jede bei der Bewegung die Tangentenfläche einer Raumkurve beschreibt\(\ldots\) Nur für besondere Klassen von Raumkurven gibt es außer diesen Geraden noch andere, die mit dem Hauptdreikant fest verbunden sind und bei seiner Bewegung Raumkurven einhüllen, und \textit{Cesàro}, dem wir diese Problemstellung verdanken, und nach dem daher diese kinematische Bedingung als \textit{Cesàro}sche Bedingung bezeichnet sei, hat gezeigt, daß\ sie zu denjenigen Kurven gehören, für die zwischen der Krümmung \(\varkappa\) und der Torsion \(\tau\) eine quadratische Gleichung von der Form \[ (1)\quad A \varkappa^2 + B \tau^2 + C \varkappa \tau = P \varkappa + Q \tau \] besteht. In der wenig umfangreichen Literatur des Gegenstandes, die kürzlich von O. \textit{Joachimi} übersichtlich zusammengestellt ist, findet sich indessen nicht mit genügender Klarheit betont, daß\ die Gleichung (1) für die Kurven, die die \textit{Cesàro}sche Bedingung erfüllen, keineswegs charakteristisch ist, und man hat daher unterschiedslos diese wie auch die sie einschließende Klasse der Kurven (1) als \textit{Cesàro}sche Kurven bezeichnet. Um der aus der naheliegenden Verwechselung schon tatsächlich entstandenen Verwirrung zu entgehen, seien die Kurven (1) \textit{Cesàro}schen Kurven schlechthin, die geometrisch definierte Kurvenklasse \textit{eigentliche Cesàro}sche Kurven genannt.'' Es wird zunächst gezeigt, daß\ das Verfahren, die Diskussion an die endlichen Gleichungen der Kurven (1) anzuknüpfen, die sich mittels der Methode der parallelen Zuordnung (F. d. M 36, 659, 1905) durch Quadraturen darstellen lassen, nur in Sonderfällen zweckmäßig ist, und daß\ daher das kinematische Problem besser direkt behandelt wird. Dann werden im Hauptteil der Arbeit die Bedingungen der eigentlichen \textit{Cesàro}schen Kurven präzisiert, d. h. alle Kurven (1), die der \textit{Cesàro}schen Bedingung nicht genügen, ausgesondert, endlich wird eine rationelle Klassifikation der eigentlichen \textit{Cesàro}schen Kurven gegeben. Die Kurven, deren natürliche Gleichung eine der sechs Formen \[ (P \tau-Q \varkappa) \tau = P(P \varkappa + Q \tau),\quad B \tau^2=P \varkappa + Q \tau \eqno (B,P \neq 0), \] \[ C \varkappa \tau= P \varkappa + C \tau (C,P \neq 0), \quad A \varkappa^2=P \varkappa + Q \tau \eqno (A, P, Q \neq 0), \] \[ \varkappa(Q \varkappa - P \tau)=Q(P \varkappa + Q \tau),\quad A \varkappa^2+B \tau^2+ C \varkappa \tau = Q \tau \eqno (A \neq 0) \] hat, gehören \textit{nicht} zu den eigentlichen \textit{Cesàro}schen Kurven. Abgesehen von diesen sechs Kurvenklassen ``existieren für alle Kurven, die eine natürliche Gleichung \[ A \varkappa^2+B \tau^2 + C \varkappa \tau = P \varkappa + Q \tau \] besitzen, vier reelle oder komplexe verschiedene oder paarweise zusammenfallende \textit{Cesàro}sche Geraden. Es existieren deren unendlich viele bei den Kurven \[ A \varkappa + C \tau = Q \frac{\tau}{\varkappa} \] sowie bei den \textit{Bertrand}schen Kurven und ihren Grenzfällen. Bei den letzteren gibt es außer diesen regulären \textit{Cesàro}schen Geraden noch unendlich viele Minimalgeraden, die der \textit{Cesàro}schen Bedingung genügen.''