Die rationale Kurve fünfter Ordnung im fünf-, vier-, drei- und zweidimensionalen Raum. (Q1484470)

Die rationale Kurve fünfter Ordnung \(K_5\) im \(R_5\) ist das naturgemäße Hülfsmittel, um die Invariantentheorie der binären Form fünfter Ordnung zu veranschaulichen, ebenso wie man die Raumkurve dritter Ordnung zur Interpretation der Theorie der kubischen binären Form heranziehen kann (R. \textit{Sturm}, Darstellung binärer Formen auf der kubischen Raumkurve, J. f. Math. 86). Setzt man die homogenen Koordinaten der \(K_5\) in der Form \(x_0:x_1:x_2:x_3:x_4:x_5=1:-\lambda:\lambda^2:- \lambda^3:\lambda^4:-\lambda^5\) an, so sind mit der Kurve zwei apolare binäre Formen fünfter Ordnung \(f\) und \(\varphi\) verknüpft, von denen das Verschwinden der einen die Berührungsmannigfaltigkeiten \(T_4\), die andere die Schnittpunkte mit einer linearen Mannigfaltigkeit \(M_4\) bestimmen. Dann lassen sich die Invarianten und Kovarianten der Formen fünfter Ordnung, die nach \textit{Clebsch} (Binäre Formen) aufgestellt werden, geometrisch deuten; doch kann hier über die mannigfachen Einzelergebnisse nicht ausführlich berichtet werden. Der zweite, kürzere, Abschnitt überträgt die gewonnenen Ergebnisse auf die rationalen Kurven fünfter Ordnung in den Räumen niedrigerer Dimensionenzahl. Diese Kurven werden aus der ``Normkurve'' \(K_5\) durch Projektion gewonnen. Projiziert man die Punkte des \(R_5\) aus einem Punkte auf einen festen \(R_4\), so ergibt sich eine vierdimensionale \(C_5\); projiziert man die Punkte mittels Ebenen durch eine feste Gerade auf einen \(R_3\), so ergibt sich eine Raumkurve \(C_5\) usf. Ist das Projektionszentrum (d. h. der Ort aller Punkte, die die projizierenden Mannigfaltigkeiten gemeinsam haben) ein \(R_{k-1}\), so ist er durch \(k\) Punkte oder durch die \(k\) zugehörigen Berührformen bestimmt. Man nennt sie die \textit{Grundformen} der Projektionskurve. Mit ihrer Hülfe ergeben sich die Eigenschaften der Kurven in den niederen Räumen sehr einfach aus der Theorie der Normkurve. Inhalt: Einleitung. I. \textit{Die Normkurve} \(N^5\) \textit{fünfter Ordnung} (S.2-65). 1. Darstellung des Punktes der Geraden usf. bezüglich der \(N^5\). 2. Apolarität. 3 Invariantentheorie auf der \(N^5\). 4. Weitere Kovarianten 5. Beziehungen der Geraden zur Normkurve. 6. Die zu \(f\) und \(f'\) apolare Form achter Ordnung. 7. Fall unendlich vieler Quadrisekantenräume durch \((f, f')\) 8.-9. Quadrupel auf \(N^5\). 10. Beziehung der Ebene zur \(N^5\). 11. Die binäre Form siebenter Ordnung im Zusammenhang mit der \(N^5\). 12. Zusammenhang mit den Oskulanten. II. \textit{Die rationalen} \(C^5\) \textit{in den niederen Räumen}. (S. 66 bis 100.) 13. Prinzipien des Projizierens. 14. Die rationale \(C_4^5\). 15. Die rationale \(C_3^5\). 16. Weitere Eigenschaften der \(C_3^5\) 17. Spezielle Raumkurven fünfter Ordnung. 18. Die fundamentale Involution auf der \(N^3\). 19. Die Oskulanten der \(C_3^5\). Die Kurve \(K\) dritter Ordnung. 20. Die fundamentale Involution auf der \(N^4\). 21. Bemerkungen über die \(C_2^5\).