Principia Mathematica. Vol. I. (Q1484786)

``Das vorliegende Buch'', sagen die Verf. in der Vorrede, ``wurde ursprünglich von uns gedacht als Teil eines zweiten Bandes von ``The Principles of Mathematics'' von \textit{B. Russell} (1903; JFM 34.0062.14). Als wir aber vorwärts kamen, wurde es mehr und mehr klar, daß der Gegenstand viel größer ist, als wir gedacht hatten. Wir sind übrigens jetzt zu befriedigenden Ergebnissen gelangt; so glauben wir Lösungen von vielen Grundfragen zu besitzen, die im vorigen Buch dunkel oder zweifelhaft gelassen waren.'' Demgemäß ist ein wichtiger Teil des Buches einer ``Typentheorie'' (vgl. S. vii--viii) gewidmet, die die Paradoxien von \textit{Burali-Forti}, \textit{Russell}, \textit{König, Richard} u. a. löst (S. 63--67). Die Einleitung besteht aus drei Kapiteln: ``Preliminary explanations of ideas and notations'' (S. 4--38). ``The theory of logical types'' (S. 39--68), und ``incomplete symbols'' (S. 69--88). Hier und in anderen Teilen des Buches erinnert die Form an \textit{Peano}, die Sache aber mehr an \textit{G. Frege} (vgl. dessen ``Grundgesetze der Arithmetik'', Jena (1893; JFM 25.0101.02), und (1903; JFM 34.0071.05)). Das zweite Kapitel ist wesentlich eine Reproduktion der Artikel von \textit{Russell}: ``La théorie des types logiques'' [Rev. Métaphys. Morale 18, 263--301 (1910; JFM 41.0083.01) vgl. vorstehendes Referat] und: ``Mathematical logic as based on the theory of types'' [Am. J. Math. 30, 222--262 (1908; JFM 39.0085.03)]. Für das dritte Kapitel vergleiche man \textit{Russells} Artikel: ``On denoting'' [Mind, N. S. 14, 479--493 (1905)]. Teil I des Buches handelt von mathematischer Logik oder Logistik und zerfällt in fünf Abschnitte: ``The theory of deduction'', S. 94--131 (vgl. \textit{Russell}, ``The theory of implication''. [Am. J. Math. 28, 159--202 (1906; JFM 37.0060.06)]). ``Theory of apparent variables'', S. 132--195. ``Classes and relations'', S. 196--243. ``Logic of relations'' S. 244-316. ``Products and sums of classes'', S. 317-342. Teil II behandelt ``Prolegomena to cardinal arithmetic'' und besteht aus fünf Abschnitten: ``Unit classes and couples'', S. 347--403. ``Sub-classes, sub-relations, and relative types, S. 404--436. ``One-many, many-one, and one-one relations'', S. 437--499. ``Selections'', S. 500--568. ``Inductive relations', S. 569--666. Teil III in Bd. II (ein zweiter und sogar ein dritter Band sollen bald nachfolgen) wird mit einer Definition der Kardinalzahl (der berühmten \textit{Frege-Russell}schen Definition) eröffnet. Im ersten Abschnitt von Teil II haben wir zwar Definitionen von 1 und 2; dort ist aber nicht gezeigt, daß sie Kardinalzahlen sind. Am meisten vielleicht wird der Mathematiker sich für S. 487--489 interessieren, wo der Satz von \textit{Schröder} [``Über zwei Definitionen der Endlichkeit und \textit{G. Cantor}sche Sätze'', Nova Acta Leop. Carol. Akad. 71, 303--362 (1898; JFM 29.0049.04)] und \textit{Bernstein} [``Leçons sur la théorie des fonctions'' von \textit{E. Borel}. (1898; JFM 29.0336.01)] nach der Methode von \textit{E. Zermelo} [Math. Ann. 65, 272 (1908; JFM 39.0097.03)] bewiesen ist; ebenso für den vierten Abschnitt, wo das Axiom oder ``Auswahlprinzip'' von \textit{Zermelo} besprochen wird [``Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann'', Math. Ann. 59, 514--516 (1904; JFM 35.0088.03). ``Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung'', Math. Ann. 65, 107--128 (1908; JFM 38.0096.02). ``Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I.'', Math. Ann. 65, 261--281 (1908; JFM 39.0097.01)]. Man vergleiche insbesondere S. 503, 561--566. Das vollständige Werk soll die Mathematik bis zur Geometrie inkl. behandeln. In der Bezeichnung sind die Verf. hauptsächlich \textit{Peano} gefolgt; in allen Fragen der logischen Analyse aber \textit{G. Frege} (vgl. [Am. J. Math. 28, 160 (1906)]). In der Arithmetik sind die Arbeiten von \textit{G. Cantor} grundlegend, in der Geometrie hatten die Verf. stets vor sich die Arbeiten von \textit{v. Staudt}, \textit{Pasch}, \textit{Peano}, \textit{Pieri} und \textit{Veblen}. Eine Rezension gibt Referent im Cambridge Review 33, 7--9 (1911); eine andere findet sich in Nature 87, 273--274 (1911).