Bemerkung zum Satze von \textit{Fourier}. (Q1484936)

Ist \(f(z)= 0\) eine Gleichung \(n\)-ten Grades mit reellen Koeffizienten, und bedeuten \(f'(z), f''(z),\dots,f^{(n)}(z)\) die Abgeleiteten von \(f(z)\), so ist die Anzahl der Wurzeln von \(f(x) = 0\), die zwischen den beiden reellen Zahlen \(A\) und \(B(A<B)\) liegen, wenn \(A\) und \(B\) keine Wurzeln von \(f(z) = 0\) sind, gleich \(Z_A-Z_B-2\lambda\). Hierbei bedeuten \(Z_A\) und \(Z_B\) die Anzahl der Vorzeichenwechsel in den beiden Reihen \(f(A),f'(A),\dots,f^{(n)}(A)\) und \(f(B), f'(B),\dots,f^{(n)}(B)\), \(\lambda\) eine ganze positive Zahl einschließlich 0. Die Bemerkung des Verf. soll die Bedeutung der Zahl \(\lambda\) in dem vorstehenden \textit{Fourier}schen Satze präzisieren. Man bilde die Reihe \(f(\alpha_i),f'(\alpha_i),\dots,f^{(n)}(\alpha_i)\). Verschwinden in ihr \(e_i\) intermediäre Funktionen, und ist \(c_i\) und \(d_i\) die Anzahl der durch eine ungerade Zahl fehlender Glieder unterbrochenen Zeichenwechsel, bzw. Zeichenfolgen der Reihe, so sei \(\sigma_i=e_i-c_i+d_i\) (eine stets gerade Zahl). Wird für alle zwischen den Grenzen \(A\) und \(B\) gelegenen Größen \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_j\), für die das zugehörige \(\sigma\) von Null verschieden ausfällt, \(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_j\) gebildet, so ist \(2\lambda=\sigma_1+\sigma_2+\cdots+\sigma_j\). Hieraus zieht der Verf. verschiedene Folgerungen.