Sur les équations du cinquième degré résolubles algébriquement, quand le produit des racines reste arbitraire. (Q1484957)

Der Verf. stellt sich die Aufgabe, alle algebraisch lösbaren Gleichungen \[ (1)\quad x^5+10px^3+10qx^2+5rx+s=0 \] zu finden, in denen \(p,q,r\) rationale Zahlen sind, während die Zahl \(s\) willkürlich bleibt. Man muß hierbei die Zahlen \(p,q,r\) so bestimmen, daß die Resolvente sechsten Grades eine in \(s\) rational ausgedrückte Wurzel hat. Die Untersuchung wird im Anschluß an die \textit{Cayley}sche Abhandlung durchgeführt: ``On a new auxiliary equation in the theory of equations of the fifth order'' (Coll. Math. Papers 4, 309). Nur zwei allgemeine Lösungen werden gefunden: die binomische Gleichung \(x^5+s=0\) und die Gleichung \(x^5+10px^3+20p^2x+s=0\), welche letztere mit der Gleichung für die Fünfteilung eines Kreisbogens übereinstimmt. Als eine Lösung der Gleichung (1), in der \(r\) nicht Null ist, aber \(s\) auch nicht mehr allgemein sein darf, wird noch gefunden: \[ x^5+5(x^3+x^2+x)-17,5=0. \]