Sopra le deformazioni isogonali delle superficie a curvatura costante in geometria ellittica ed iperbolica. (Q1484999)

Die Anordnung der Untersuchung ist ganz entsprechend wie für den euklidischen Raum (Annali di Mat. (3) 18, 1; Referat vorstehend), auch der analytische Apparat unterscheidet sich nur wenig von den früheren Entwicklungen. Jeder infinitesimalen Deformation (unter konstantem Winkel) einer pseudosphärischen Fläche \(S_0\) im euklidischen Raum entspricht eine gleichartige Deformation einer pseudosphärischen Fläche \(S\) im elliptischen oder hyperbolischen Raum. Dadurch ist, wie schon früher das Biegungsproblem (s. Lezioni III, 234), auch das Problem der kontinuierlichen isogonalen Biegung auf die entsprechende Aufgabe des euklidischen Raumes zurückgeführt. Im elliptischen Raum kann man aus einem System \(\varSigma\) durch Polarisierung an der absoluten Fläche ein neues System \(\varSigma\) gewinnen. Eine besondere Rolle spielen die Systeme \(\varSigma\), die aus Flächen von der Krümmung Null bestehen: Hier ist die Verschiebungsrichtung längs der einen Schar von Asymptotenlinien parallel und von demselben Sinne wie die Binormalen dieser Asymptotenlinien. Die Systeme \(\varSigma\), deren Flächen auseinander durch bloße Verschiebung (ohne Biegung) hervorgehen, bestehen aus Flächen, deren Asymptotenlinien nicht nur konstante sondern auch konstante Krümmung besitzen. Zum Schluß\ wird noch die Frage nach Systemen \(\varSigma\) im euklidischen Raume behandelt, die aus abwickelbaren Flächen bestehen.