Sur les courbes tracées sur une surface algébrique. (Q1485013)

``Ich habe in Ann. de l'Éc. Norm. (F. d. M. 41, 490, 1910) unter demselben Titel eine Abhandlung veröffentlicht; ich möchte hier auf einige Punkte zurückkommen, die in jener Abhandlung nicht eingehend genug haben behandelt werden können. \(\S\) 1. \textit{Kritische Werte}. Es sei \(F(x,y,z,t)\) eine algebraische Oberfläche \((S)\) \(n\)-ter Ordnung, deren Gleichung in homogenen Koordinaten gegeben ist. Wir schneiden sie durch die variable Ebene \(y/t\)=const.; der Schnitt sei die Kurve \(K_y\). Die Gerade \(y=t=0\) schneidet \(S\) in \(n\) Punkten \(A_1,A_2,\ldots,A_n\), die allen Kurven \(K_y\) angehören. Es sei \(p\) das Geschlecht der Kurve \(K_y\); wir können \(p\) \textit{Abel}sche Integrale erster Gattung in bezug auf diese Kurve bilden: \(u_i=\int P_i dx/QF'_z\) \((i=1,2,\ldots,p)\), wo \(F'_z\) die partielle Ableitung von \(F\) nach \(z\) ist, \(Q\) ein homogenes Polynom \(\nu\)-ten Grades in \(y\) und \(t\) (dasselbe für alle Integrale \(u_i\)) und die \(P_i\) ganze homogene Polynome \((n+\nu-2)\)-ten in \(x,y,z,t\), aber nicht homogen und vom Grade \(n-3\) in \(x\) und \(z\). Das Polynom \(P_i\) muß\ in allen Doppelpunkten der Kurven \(K_y\) verschwinden, abgesehen von den supplementaren Doppelpunkten, welche diese Kurve für gewisse Werte von \(y\) erhalten könnte, für die ihr Geschlecht sich erniedrigen würde. Mit anderen Worten die Oberfläche \(P_i=0\) muß\ durch die Doppelkurve der Oberfläche \(S\) gehen. Das Integral soll genommen werden, während \(x\) und \(z\) sich so andern, daß\ \(F=0\) und \(y\) und \(t\) konstant bleiben; die untere Grenze ist der Punkt \(A_1\), die obere ein variabler Punkt \(M\) der Kurve \(K_y\). Dann ist das Integral \(u_i\) eine Funktion der Koordinaten \(x, y, z, t\) eines variablen Punktes \(M\) der Oberfläche \(S\), und diese Funktion ist bis auf eine Periode bestimmt. Wir behalten uns vor, wenn das ohne Nachteil geschehen kann, auf die homogenen Koordinaten zu verzichten und \(t = 1\) zu setzen. Wir nennen kritische Werte zweiter Art die Werte von \(y\) (oder \(y/t\)), welche den Nenner \(Q\) zum Verschwinden bringen. Die kritischen Werte erster Art sind solche, für welche man \(p\) derartige Koeffizienten \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_p\) finden kann, daß\ \(\alpha_1P_1+\alpha_2P_2+\cdots+\alpha_pP_p\) identisch Null wird für jeden Wert von \(x\) und \(z\). Singuläre Werke von \(y\) nenne ich solche, für die das Geschlecht der Kurve \(K_y\) sich verringert; sie entsprechen den Ebenen \(y/t\) = const., die \(S\) berühren, oder die durch einen Kegelpunkt der Fläche gehen. Für einen Wert von \(y\) (oder \(y/t\)), der nicht singulär ist, auch nicht kritisch von der zweiten Art, ist die Funktion \(u_i\) (ebenso wie die Perioden des Integrales \(u_i\)) immer endlich. Wenn der Wert singulär, aber nicht kritisch ist, wird das Integral \(u_i\) nur unendlich, falls der Integrationsweg durch den neuen Doppelpunkt geht Wenn der Wert kritisch von der zweiten Art ist, so ist es im allgemeinen für alle Punkte \(M\) der Kurve \(K_y\) unendlich. Nehmen wir an, ein Wert von \(y\) sei kritisch von der ersten Art, ohne singulär oder kritisch von der zweiten Art zu sein; dann verschwindet \(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\cdots+\alpha_pu_p\) für diesen Wert von \(y\), und zwar für alle Punkte \(M\) der Kurve \(K_y\). Man sicht leicht ein, was geschieht, wenn ein Wert zugleich kritisch von der ersten und von der zweiten Art ist. Es sei \(y_0\) ein derartiger Wert; dann verschwindet für \(y=y_0t\) der Nenner von \(Q\) sowie \(\varSigma \alpha_iP_i\) identisch. Daraus geht offenbar hervor, daß\ die Integrale \(u_i\) im allgemeinen unendlich werden, die Verbindung \(\varSigma \alpha_iu_i\) aber endlich bleibt. Prüfen wir nun den Fall eines singulären Wertes, der nicht kritisch ist. Er zerfällt in Unterabteilungen; wir werden nur von den folgenden besonderen Fällen reden''. Nun werden drei solcher Fälle genauer erörtert. Der nächste \(\S\) 2 handelt von den \textit{Funktionen} \(v_i\). Es sei \(C\) eine algebraische Kurve auf \(S\); die Ebene \(y/t\)=const. schneidet \(C\) in \(m\) beweglichen Punkten \(M_1,M_2,\ldots,M_m\). Sind \(u_i^1,u_i^2,\ldots,u_i^m\) die zugehörigen Werte des Integrales \(u_i\), so ist \(v_i=u_i^1+u_i^2+\cdots +u_i^m\). Der Paragraph 3 erörtert die \textit{Bildung der Normalfunktionen} \(v_i\) und die Perioden \(\omega_{ki}\), welche linearen Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten genügen. In \(\S\) 4 werden \textit{Abel}sche Funktionen eingeführt. Darauf folgt in \(\S\) 5 die Klassifikation der Kurven; in \(\S\) 6 werden die Gleichungen der Kurven \(C\) in Gestalt von Differentialgleichungen ermittelt. Der letzte Paragraph (7) handelt endlich von der Elimination der kritischen Werte zweiter Art. Wir haben den Eingang dieser Abhandlung wörtlich wiedergegeben, um damit darzutun, daß\ bei den vielen Begriffsbestimmungen ein eingehendes sachliches Referat über den verfügbaren Raum hinausgehen müßte.