Die Ponsfläche, eine Fläche dritter Ordnung mit vier Doppelpunkten. (Q1485045)

``Ersetzt man in der Gleichung des konfokalen Kegelschnittsystems \[ \frac{x^2}{a^2+\lambda} + \frac{y^2}{b^2+\lambda}=1 \] den Parameter \(\lambda\) durch die räumliche, rechtwinklige Koordinate \(z\), so werden die Kegelschnitte des Systems ober- und unterhalb der \((xy)\)-Ebene auseinander herausgehoben und bilden in ihrer Aufeinanderfolge eine Fläche von der Gleichung \[ (z+b^2)(x^2-z-a^2)+y^2(z+a^2)=0. \] Verschiebt man das Koordinatensystem parallel längs der negativen \(z\)-Achse um die Strecke \(b^2\), so ist \(z\) durch \(z - b^2\) zu ersetzen, und die Flächengleichung wird: \[ (1)\quad (x^2+y^2)+c^2y^2-z^2-c^2z=0, \] wo \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) die lineare Exzentrizität des obigen konfokalen Kegelschnitt Systems ist.'' Ihren Namen hat die Fläche erhalten von folgender Eigenschaft: Die doppeltgelegte \(X\)-Achse liegt ganz auf der Fläche, das Stück innerhalb der Punkte \(x=\pm c\) begrenzt den oberhalb der \((xy)\)-Ebene gelegenen Teil der Fläche und bildet eine Brücke über die Einsattelung des unterhalb der \((xy)\)- Ebene liegenden Teiles der Fläche. - Außer den zwei reellen Doppelpunkten, deren Verbindungsstrecke die eben genannte Brücke ist, besitzt die Fläche noch zwei imaginäre Doppelpunkte, also das Maximum von 4 Doppelpunkten, das eine Fläche dritter Ordnung haben kann. Die Tangentialebenen, Tangentialkegel, die \textit{Hesse}sche Fläche der Ponsfläche werden genauer behandelt, eine Parameterdarstellung der Fläche gegeben, ihre Reziprokalfläche untersucht, die Krümmungsverhältnisse, Asymptotenlinien, Normalen und Normalenflächen eingehender diskutiert.