Über den Schnitt zweier quadratischen Räume im vierdimensionalen Raume. (Q1485069)

Im \(R_4\) seien zwei quadratische Raume gegeben durch \(R_x^2=a_x'{}^2=0\), \(T_x^2=\alpha_x'{}^2=0\); sie bestimmen einen Büschel \(N:N_x^2=a_x'{}^2 + \lambda \alpha_x'{}^2=0\). Die beiden Räume \(R,T\) durchdringen sich in einer ``Fläche'' vierten Grades \(M\), die ohne Doppelpunkt vorausgesetzt wird. Der Büschel \(N\) wird auch in Linienkoordinaten \(\pi_{ik}=\varrho_{ik}\). in Ebenenkoordinaten \(\pi_{ikm}=\varrho_{ikm}\) und in Raumkoordinaten \(u'\) dargestellt. Bedeutet \(\xi\) einen Punkt von \(M\), so schneiden sich die beiden Tangentialräume durch \(\xi\) an \(R\) und \(T\) in einer ``Tangentialebene'' \(E_\xi\) von \(M\) in \(\xi\). Es wird die Bedingung untersucht, daß\ \(E\) zu einer ``singulären'' Tangentialebene von \(R\) wird, so daß\ \(E\) den Raum \(R\) nach einer Doppellinie schneidet; zu dem Behuf muß\ \(\xi\) auf einer ``\(V_1\)-Kurve'' liegen, d. i. dem Schnitt von \(M\) mit dem quadratischen Raume \(V_1 = 0\), wo \(V_1\) die polarreziproke Abbildung von \(T\) bezüglich \(R\) ist. Analog gibt es auf \(M\) eine \(V_2\)-Kurve; diese beiden Kurven sind aber nur partikulare Individuen einer quadratischen \(\infty^1\)-Schar von Kurven \(V_\lambda\), die als Einhüllende auf \(M\) eine Kurve \(H\) von der Ordnung 16 besitzt. Das Hauptergebnis ist, daß\ die Kurve \(H\) nichts anderes ist, als die Gesamtheit der 16 Geraden auf \(M\).