Über die Anwendung des \textit{Dirichlet}schon Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung. (Q1485154)

Die Abhandlung ist bis auf einige redaktionelle Änderungen ein Abdruck der Dissertation des Verf. (Göttingen 1910). Es wird in ihr im Anschluß\ an einen Gedanken von Hilbert mit Hülfe des Dirichletschen Prinzips die Existenz einer durch eine von \textit{Hilbert} aufgestellte Minimaleigenschaft charakterisierten eindeutigen Potentialfunktion \(u\) auf der allgemeinsten endlich- oder unendlich-vielblättrigen \textit{Riemann}schen Fläche \(\varOmega\) nachgewiesen, die in einem Punkte \(O\) unstetig wird wie der reelle Teil von \(1/z\) im Punkte \(z = 0\). Es handelt sich dann weiter darum, zu zeigen, daß\ die Funktion \(u+iv\) im Falle der Schlichtartigkeit der Fläche \(\varOmega\) eine eindeutige konforme Abbildung der Fläche \(\varOmega\) auf einen schlichten Schlitzbereich liefert, gleichgültig, ob der Zusammenhang endlich oder unendlich ist. Dieses um dieselbe Zeit auch von \textit{Koebe} in seiner Abhandlung ``Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. IV'' (Gött. Nachr. 1909) und in einer Note ``Über die \textit{Hilbert}sche Uniformisierungsmethode'' (Gött. Nachr. 1910) ``gelöste Problem findet in der \textit{Courant}schen Arbeit eine in verschiedener Hinsicht eigenartige und bemerkenswerte Lösung. Im Falle einfachen Zusammenhangs gibt der Verf. eine Herleitung der Abbildungseigenschaft direkt aus der Minimaleigenschaft; im Falle unendlich hohen Zusammenhangs jedoch geht \textit{Courant}, wie auch \textit{Koebe} in der ersten seiner genannten Abhandlungen, auf die Näherungsfunktionen zurück, indem \(\varOmega\) als Grenze endlich-vielfach zusammenhängender Bereiche aufgefaßt wird. Zum Schlusse wird gezeigt, wie sich nun in Auffassung der Methode des \textit{Dirichlet}schen Prinzips die Lösung des ursprünglich von \textit{Koebe} (Gött. Nachr. 1908) erledigten Problems der Uniformisierung durch automorphe Funktionen des \textit{Schottky}schen Typus und der konformen Abbildung eines mehrfach zusammenhängenden Bereichs auf einen von Vollkreisen begrenzten Bereich im Sinne der Methode der Überlagerungsfläche ergibt.