The attraction of a homogeneous spherical segment. (Q1485245)

``G. W. \textit{Hill} ist zu dem unerwarteten Ergebnis gekommen, daß\ die Anziehung des homogenen Kugelsegments abhängig gemacht werden kann von dem vollständigen elliptischen Integral erster, zweiter und dritter Gattung und daher durch die Funktionen \(F(\varphi)\) und \(E(\varphi)\) der \textit{Legendre}schen Tafel IX ausdrückbar ist (F. d. M. 38, 775, 1907). Das Ergebnis ist unerwartet, weil die gewöhnliche Zerschneidungsart zu einem Integral von nicht zu behandelnder Art führt, bei dem die Elemente symmetrisch zur Achse des Segmentes sind. Schneidet man aber das Segment durch Ebenen senkrecht zur Verbindungsgeraden des Zentrums \(C\) der Kugel und des angezogenen Punktes \(P\), so ist jeder Schnitt das Segment eines Kreises, von welchem \(CP\) die Achse ist, und die Komponenten der Anziehung senkrecht und parallel zu \(CP\) sowie das Potential des Segmentes in \(P\) werden durch einfache Funktionen gegeben. Das ist die von G. W. \textit{Hill} benutzte Zerschneidung und eine schließliche partielle Integration setzt ihn in den Stand, die Komponenten der Anziehung des Kugelsegments auf eine algebraische Quadratur zu bringen, die sich als eine vom elliptischen Charakter erweist. Der Zweck der gegenwärtigen Abhandlung ist die Wiederaufnahme der Betrachtung dieses elliptischen Integrals und der Nachweis, daß\ das Resultat abhängig gemacht werden kann von dem vollständigen elliptischen Integral erster und zweiter Gattung und von zwei vollständigen Integralen dritter Gattung, die durch unvollständige Integrale erster und zweiter Gattung ausdrückbar sind. Geometrisch gedeutet, können diese beiden elliptischen Integrale so genommen werden, daß\ sie den scheinbaren Inhalt ausdrücken oder das magnetische Potential der Basis des Segments, von \(P\) aus gesehen und von einem anderen Punkte \(P'\) auf dem Radius \(CP\), der zu \(P\) invers ist in bezug auf die Kugeloberfläche. Die analytische Reduktion ist somit ähnlich der vom Verf. gebrauchten in der Abhandlung ``The elliptic integral in electromagnetic theory'' (Trans. Amer. Math. Soc. 8, 447-534; F. d. M. 38, 477, 1907).