Sur les petites oscillations d'un corps flottant. (Q1485357)

Nachdem in der Einleitung auf die frühere Behandlung der Stabilitätsfragen schwimmender Körper hingewiesen ist (\textit{Poisson, Duhamel, Bravais, Guyou}), fährt der Verf. fort: ``\textit{Clebsch} hat (J. für Math. 57, 149, 1860) die Theorie der kleinen Pendelschwingungen wieder aufgenommen, die ein schwerer Körper ausführen kann, wenn er an der Oberfläche einer unzusammendrückbaren und schweren Flüssigkeit schwimmt. Er hat den Fehler, den \textit{Poisson} und \textit{Duhamel} begangen hatten, sorgfältig bezeichnet und vermieden. Auf diese Weise hat er richtige Gleichungen erhalten, die aber sehr viel verwickelter sind als die, deren seine Vorgänger sich bedient hatten. Indem er ausdrückte, daß\ die Perioden aller Pendelschwingungen reell sind, ist er zu einer Bedingung geführt worden, die in keiner Weise mit der im Einklange steht, die man aus der Methode von \textit{Lagrange} und \textit{Lejeune Dirichlet} herleitet. Diese kommt nämlich auf die algebraische Aufgabe hinaus, bei der man ausdrückt, daß\ eine gewisse quadratische Form positiv definit ist; jene verlangt die Lösung einer ganz anderen Frage: es handelt sich darum, die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür zu finden, daß\ eine gewisse transzendente Gleichung lauter reelle und positive Wurzeln hat. Ohne das Wesen und die Ursachen dieser Unstimmigkeit tiefer zu ergründen, hatte \textit{Clebsch} ohne Zögern daraus geschlossen, daß\ die klassische Regel des Metazentrums ungenau sei. Dieser Schluß, der annehmbar ist, wenn die Regel des Metazentrums keine andere Begründung hätte als die Theorie von \textit{Poisson} und von \textit{Duhamel}, könnte von dem Augenblick an nicht gebilligt werden, wo diese Regel durch einwandfreie Schlußfolgerungen aus dem von \textit{Lagrange} ausgesprochenen und von \textit{Lejeune Dirichlet} bewiesenen Satze abgezogen würde. Wir müssen also von diesem Zwiespalt zwischen den Ergebnissen der beiden Methoden, die zur Erforschung der Stabilität eines schwimmenden Körpers geführt haben, einen anderen Grund suchen, und zu diesem Zwecke müssen wir zunächst diesen Zwiespalt vollständiger prüfen, als \textit{Clebsch} es tun zu müssen geglaubt hat. Dieser Mühe wollen wir uns hier unterziehen. Andererseits wollen wir anfänglich die Frage viel allgemeiner fassen als \textit{Clebsch} es getan hat. Statt die Flüssigkeit als nicht zusammendrückbar vorauszusetzen, wollen wir sie als nach einem beliebigen Gesetz zusammendrückbar betrachten, aber als von gleichförmiger und konstanter Temperatur. Statt anzunehmen, daß\ die Schwere die einzige einwirkende Kraft ist wollen wir zulassen, daß\ die Flüssigkeit und der Schwimmer beide äußeren \textit{Newton}schen Kräften unterliegen, die ein Potential haben. Das System, dessen kleine Schwingungen wir untersuchen wollen, hat also dieselbe Allgemeinheit wie jenes, dessen Stabilitätsbedingungen wir nach der Methode von \textit{Lagrange} und \textit{Lejeune Dirichlet} zu bilden gelernt haben. Mithin werden wir die Resultate, zu denen uns diese beiden Methoden führen, vergleichen können. Von dieser allgemeinen Studie werden wir leicht zu der von \textit{Clebsch} durchgeführten übergehen können.'' I. Kinematische Untersuchung der kleinen Bewegungen eines auf einer Flüssigkeit schwimmenden Körpers. II. Dynamische Untersuchung der kleinen Bewegung des festen Körpers. III. Untersuchung der kleinen Bewegungen der Flüssigkeit. IV. Ansatz der Gleichungen für das Problem der kleinen Pendelschwingungen eines Schwimmers. V. Zurückführung der vorigen Aufgabe auf eine Aufgabe der Variationsrechnung. VI. Die durch die Theorie der kleinen Bewegungen gelieferte Bedingung, die zur Sicherung der Stabilität des Systems genügt. VII. Wie die Theorie der kleinen Bewegungen beweist, daß\ die vorangehende Bedingung für die Stabilität des Gleichgewichtes des Systems notwendig ist. VIII. Mit Fehlbetrag angenäherte Bestimmung der längsten Periode, die eine Pendelbewegung des Systems annehmen kann. IX. Sukzessive Bildung der verschiedenen Pendelbewegungen, deren der Schwimmer fähig ist. X. Körper, der auf einer unbegrenzten Flüssigkeit schwimmt. XI. Schwerer Körper, der auf einer schweren, nicht zusammendrückbaren und homogenen Flüssigkeit schwimmt. XII. Fall, bei dem das untersuchte System zwei Symmetrieebenen besitzt. Eine Wiedergabe des analytischen Ganges der Untersuchung, deren bezifferte Gleichungen auf 189 ansteigen, ist unmöglich. Aus der Fülle der interessanten Ergebnisse heben wir nur die in Kap. VI ausgesprochene Bedingung für die Stabilität des Gleichgewichts heraus: ``Damit ein System in stabilem Gleichgewicht sei, ist es notwendig und hinreichend, daß\ die Gleichungen der kleinen Pendelbewegungen dieses Systems durch keinen imaginären Wert der Periode verifiziert werden können.'' Oder: ``Für die Stabilität eines aus einer Flüssigkeit und einem Schwimmer gebildeten System ist es notwendig und hinreichend, daß\ die beiden gleichwertigen Aufgaben der Variationsrechnung, deren Fassungen wir gegeben haben, für die Konstante \(\lambda\) ausschließlich positive Werte geben.'' Endlich mögen die Schlußsätze der Arbeit hier Platz finden: ``Um zusammenzufassen: Die prinzipiellen Einwände, welche \textit{Clebsch} gegen die Theorie der Schwingungen schwimmender Körper erhoben hat, wie sie von \textit{Poisson} und \textit{Duhamel} entwickelt ist, sind vollauf gerechtfertigt; die von jener Theorie zugelassenen Annahmen sind mit schweren Irrtümern behaftet. Allein die Folgerungen, zu denen sie führt, sind nicht alle zu verwerfen. Die Stabilitätsbedingungen, die sie formuliert hat, sind zutreffend: Auf ein doppelt symmetrisches Schiff angewandt, das auf einem unbegrenzten Meere schwimmt, schreibt sie jeder der drei Arten einfacher Pendelschwingungen: der einfachen vertikalen Schwingung, dem reinen Rollen, dem reinen Schlenkern, bestimmte Perioden zu; diese Perioden sind nicht den längsten Perioden der wirklichen Schwingungen gleich; man kann jedoch immer versichern, daß\ diese höher sind als jene.''