Zur Theorie des logarithmischen Potentials. Aufsatz VII (Über das \textit{Riemann}sche Abbildungsproblem). (Q1485438)

Der Verf. macht darauf aufmerksam, daß\ die Lösung des \textit{Riemann}schen Abbildungsproblems, das die Abbildung einer von irgendeiner Kurve begrenzten ebenen Fläche auf das Innere eines Kreises verlangt, für die Ellipse wie für andere von Niveaukurven begrenzte Flächen implizit bereits in seiner 1861 publizierten Arbeit ``Über die Integration der partiellen Differentialgleichung \(\frac{\partial^2\varPhi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\varPhi}{\partial y^2}=0\)'' (J. für Math. 59) enthalten ist, allerdings ohne daß\ dort auf den Zusammenhang der abgeleiteten Formeln mit dem Abbildungsproblem hingewiesen ist. Er wendet dann die Formel für \(\varPhi\), die er in jener Abhandlung aufgestellt, auf die Ellipse an, speziell unter der Annahme, daß\ der Pol \(O\) der in Betracht kommenden \textit{Green}schen Funktion (das ist zugleich der Punkt, der bei der Abbildung dem Mittelpunkte des Kreises entspricht) auf der Brennlinie der Ellipse liegt. Dadurch gewinnt er für die Abbildungsfunktion \(U+iV=\log(\xi+i \eta)\) eine Reihe, die sich mittels bekannter Formeln aus der Theorie der elliptischen Funktionen summieren läßt. Es ergibt sich: \[ \xi+i \eta=-k\sin\text{am}\left( \frac{K(f+w_0)}{\pi},\,k \right) \sin\text{am}\left( \frac{K(f-w_0)}{\pi},\,k \right). \] Darin hat \(f\) den Wert \[ f=\arccos \frac{x+iy}{\sqrt{a^2-b^2}}; \] \(a,b\) sind die Achsen der Ellipse, \(K\) bezeichnet, wie üblich, das volle elliptische Integral. Der Modul \(k\) ist so zu wählen, daß \[ q=e^{-\pi K'/K} = \frac{a-b}{a+b} \] wird. Endlich ist \(\sqrt{a^2-b^2}\cos w_0\) gleich dem Abstand des Punktes \(O\) vom Mittelpunkte der Ellipse. Die Resultate vereinfachen sich, wenn \(O\) in einen Brennpunkt fällt \((w_0 = 0)\) oder in den Mittelpunkt \((w_0 = \frac 12 \pi)\).