Zur Theorie des logarithmischen Potentials. Aufsatz VIII (Über die \textit{Fourier}schen Reihen). (Q1485439)

Der in dem Aufsatz II (s. F. d. M. 41, 858, 1910) vom Verf. gefundene Ausdruck für die Dichtigkeit \(\gamma\) der natürlichen Belegung eines Kreisbogens wird benutzt, um \(\gamma\) in eine \textit{Fourier}sche Reihe zu entwickeln. Reicht im Kreise vom Radius \(R\) der Bogen \(AB\), für den \(\gamma\) bestimmt werden soll, von \(\varphi=-\alpha\) bis \(\varphi=+\alpha\), so läßt sich die frühere Formel so schreiben: \[ \gamma=\frac{1}{\pi R} \frac{\cos \frac \varphi 2}{\sqrt{2(\cos \varphi-\cos \alpha)}}. \] Entwickelt man diesen Ausdruck in eine \textit{Fourier}sche Reihe, so ergibt sich, da \(\gamma\) auf dem Bogen, der \(AB\) zu einem Vollkreise ergänzt, verschwindet, mittels des \textit{Mehler}schen Integrals für die Kugelfunktionen: \[ \gamma=\frac{1}{2\pi R} \left\{ 1+ \sum_1^\infty [P_n(\cos \alpha) + P_{n-1}(\cos \alpha)] \cos (n \varphi) \right\}. \] Das logarithmische Potential des Bogens \(AB\) wird für Punkte innerhalb des Kreises \((\varrho=R)\): \[ \varPi=\log \frac 1R + \sum_1^\infty \frac{P_n(\cos \alpha) + P_{n-1}(\cos \alpha)}{2n} \left( \frac \varrho r \right)^n \cos n \varphi; \] und hieraus folgt sofort das für äußere Punkte. Auf dem Bogen \(AB\) selbst nimmt \(\varPi\) den konstanten Wert \({\mathfrak C}=-\log \left( R \sin \frac \alpha 2 \right)\) an. Aus dem Vorstehenden ergibt sich folgendes Theorem für \textit{Fourier}sche Reihen: Ist \(g\) eine gegebene positive Konstante, \(\alpha\) ein Winkel zwischen 0 und \(\pi\), und soll man die Größen \(D\) und \({\mathfrak A}_\alpha(n = 1,2,\ldots)\) so bestimmen, daß \[ D+\sum_1^\infty \frac 1n {\mathfrak A}_n \cos(n \varphi)=0 \quad \text{für}\quad 0 \leqq \varphi^2 \leqq \alpha^2, \] \[ g+\sum_1^\infty {\mathfrak A}_n \cos(n \varphi)=0 \quad \text{für}\quad \alpha^2 < \varphi^2 \leqq \alpha^2, \] so ist \[ {\mathfrak A}=g[P_n(\cos \alpha) + P_{n-1}(\cos \alpha)], \] \[ D=2g \log \sin \frac \alpha 2. \] Die aus diesem Theorem für \(\varphi=0\) und für \(\varphi=\pm \pi\) sich ergebenden Gleichungen lassen sich auch direkt verifizieren. Ferner ergibt die Anwendung der Formel für \(\varPi\) auf die Fälle \(\alpha=\pi\) (Vollkreis) und \(\alpha = 0\) (anziehender Punkt) bekannte Resultate.