Die \textit{Cauchy}sche Randwertaufgabe für den Kreis in der Potentialtheorie. (Q1485440)

Die \textit{Cauchy}sche Randwertaufgabe, eine reguläre analytische Funktion \(u\) so zu bestimmen, daß\ sie einer gewissen Differentialgleichung zweiter Ordnung genügt und längs eines singularitätenfreien analytischen Linienstücks \(l\) selbst nebst ihrer normalen Ableitung gegebene Werte annimmt, die ihrerseits ebenfalls als reguläre analytische Funktionen angesehen werden, wird hier dahin abgeändert, daß\ 1. die Funktion \(u\) nur auf \textit{einer} Seite von \(l\) (nicht auf beiden Seiten) gewissen Bedingungen der Stetigkeit etc. genügen soll, und daß\ 2. \(u\) und \(\frac{\partial u}{\partial n}\) auf \(l\) durch im allgemeinen \textit{nichtanalytische} Funktionen gegeben sind. Die modifizierte Aufgabe wird hier für den Fall erledigt, daß\ \(l\) der Einheitskreis ist, daß\ ferner \(u\) für einen an den Einheitskreis sich anlehnenden konzentrischen Ring zu bestimmen ist, und daß\ \(u\) der \textit{Laplace}schen Differentialgleichung genügt. Dabei sind für den andern Grenzkreis des Ringes keine Randbedingungen vorgeschrieben. Als Vorbereitung für die eigentliche Aufgabe wird zunächst die funktionentheoretische Randwertaufgabe behandelt, in dem konzentrischen Kreisring mit den Radien 1 und \(R\) eine eindeutige und reguläre Funktion \(u+iv\) der komplexen Veränderlichen \(z = x + iy\) zu bestimmen, die, wenn sie einem Punkte des Einheitskreises unendlich nahe kommt, sich dem diesem Punkte zugeordneten Randwerte \({\mathfrak u} + {\mathfrak v}i\) unendlich nähert. Der Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe ergibt sich unmittelbar aus der \textit{Laurent}schen Reihe. Damit die Reihe auch konvergiert, ist für den Fall \(R < 1\) folgende Bedingung zu erfüllen, in der \(\alpha\) den Zentriwinkel bezeichnet, der einen Punkt des Einheitskreises bestimmt, und in der die gegebenen Funktionen \({\mathfrak u}(\alpha)\) und \({\mathfrak v}(\alpha)\) eindeutige, stetige und um \(2\pi\) periodische Funktionen sind: ``Es muß\ für jedes \(\lambda\), das kleiner als \(\frac 1R\) ist, eine zugehörige endliche Schranke existieren, unter der die Größen: \[ \begin{matrix} \lambda^\nu \int_{-\pi}^{+\pi} [{\mathfrak u}(\alpha) \cos(\nu \alpha) - {\mathfrak v}(\alpha) \sin(\nu \alpha)] \,d \alpha, \\ \lambda^\nu \int_{-\pi}^{+\pi} [{\mathfrak u}(\alpha) \sin(\nu \alpha) + {\mathfrak v}(\alpha) \cos(\nu \alpha)] \,d \alpha \end{matrix} \quad(\nu=1,2,3,\ldots) \] in ihrem absoluten Betrage gelegen sind.'' Eine analoge Bedingung wird für den Fall \(R > 1\) abgeleitet, und es werden diese Bedingungen auf den Fall angewandt, daß\ \({\mathfrak v}(\alpha)\) gleich der \textit{Weierstraß}schen Funktion ist, die an keiner Stelle einen Differentialquotienten besitzt, \({\mathfrak v}(\alpha)\) gleich einer ähnlichen Funktion. Die in Rede stehende Randwertaufgabe hat dann nur eine Lösung für den Fall \(R < 1\), nicht aber für \(R > 1\). Um zur Lösung für die eigentliche \textit{Cauchy}sche Randwertaufgabe zu gelangen, wird zunächst, wenn \(u(x, y)\) das gesuchte Potential ist, die Funktion \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\), in der \(v\) im allgemeinen unendlich vieldeutig ist, betrachtet und \(\frac{df(z)}{dz}=F(z)\) nach dem \textit{Laurent}schen Satze entwickelt. Aus der Reihe für \(F(z)\) folgt die für den reellen Teil \(u\) von \(f(z)\), sowie die für \(\frac{\partial u}{\partial r}\). Die Untersuchung dieser Reihen ergibt für \(R < 1\) folgende Bedingung für die Lösbarkeit der Aufgabe. Sind \({\mathfrak u}(\alpha)\) und \(\overline{\mathfrak u}(\alpha)\) die Werte, die \(u\) und \(\frac{\partial u}{\partial n}\) am Einheitskreise annehmen, wobei \(n\) die \textit{innere} Normale bezeichnet und die reellen Funktionen \(\mathfrak u\) und \(\overline{\mathfrak \alpha}\) eindeutig, stetig und um \(2\pi\) periodisch sind, so muß\ für jedes einzelne \(\lambda\), das kleiner als \(\frac 1R\) ist, eine zugehörige Schranke existieren, unter der die Größen \[ \begin{matrix} \lambda^\nu \int_{-\pi}^{+\pi} \left[ {\mathfrak u}(\alpha) - \frac 1\nu \overline{\mathfrak u}(\alpha) \right] \cos (\nu \alpha) \,d \alpha, \\ \lambda^\nu \int_{-\pi}^{+\pi} \left[ {\mathfrak u}(\alpha) - \frac 1\nu \overline{\mathfrak u}(\alpha) \right] \sin (\nu \alpha) \,d \alpha \end{matrix} \quad(\nu=1,2,3,\ldots) \] gelegen sind. Weiter wird gezeigt, daß\ diese Bedingungen nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend sind. Hierbei war vorausgesetzt, daß\ \(\frac{\partial u}{\partial n}\) in den Punkten des Einheitskreises selbst existiert und daselbst den vorgeschriebenen Werten gleich ist, wobei in der Definition des Differentialquotienten der Wert von \(u\) in dem Kreispunkt selbst durch die Annäherung erklärt ist. Man kann aber auch die Randwerte von \(\frac{\partial u}{\partial n}\) als Annäherungswerte denken, indem man zunächst für einen inneren Punkt \(\frac{\partial u}{\partial n'}\) bildet, wo \(n'\) eine Richtung bedeutet, die mit dem wachsenden Radius einen Winkel \(\eta\) bildet, und bei Annäherung des Punktes \(P\) an den Einheitskreis \(n'\) sich der inneren Normale unendlich nähern, also \(\eta=\pi\) werden läßt. Man hat dann, wenn \(r,\varphi\) Polarkoordinaten sind, nicht nur das Verhalten von \(\frac{\partial u}{\partial r}\), sondern auch das von \(\frac{\partial u}{\partial \varphi}\) zu untersuchen. Diese Untersuchung ergibt, daß\ \(\frac{\partial u} {\partial\varphi}\) bei Annäherung an den Rand absolut unter einer festen endlichen Grenze bleibt, falls die gegebene Funktion \({\mathfrak u}(\alpha)\) der folgenden Bedingung genügt: Es muß\ für alle \(\alpha,\alpha'\), die wenig von \(\beta\) abweichen, \[ |{\mathfrak u}(\alpha)-{\mathfrak u}(\alpha')| \leqq B|\alpha-\alpha'| \] sein, wo \(\beta\) ein bestimmter Winkel ist, \(B\) eine diesem zugeordnete Konstante. Diese neue Bedingung muß\ neben den vorher angegebenen erfüllt werden, damit die Aufgabe lösbar ist.