Sulle deformazioni finite dei solidi elastici isotropi. Nota I. (Q1485523)

Während in der Théorie des corps déformables von E. u. F. \textit{Cosserat} (F. d. M. 40, 862, 1909) die endlichen Deformationen eines beliebigen Körpers in größter Allgemeinheit behandelt sind, beschränkt sich der Verf. auf isotrope Körper und gelangt für sie zunächst zu den folgenden Sätzen: Für jeden Punkt \(P\) gibt es drei rechtwinklige Achsen (Hauptrichtungen) \(r_1, r_2, r_3\), denen Nullverzerrungen \(\mu\) entsprechen, oder drei Achsen, die auch vor der Deformation rechtwinklig waren. Nennt man die Verlängerungen bezüglich dieser drei Achsen \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) (Hauptverlängerungen \(\varepsilon\)), so erhält man für zwei beliebige Richtungen \(r, r'\), deren Richtungskosinus in bezug auf \(r_1, r_2, r_3\) mit \(\omega_1, \omega_2, \omega_3\) und \(\omega'_1, \omega'_2, \omega'_3\) bezeichnet werden, \(\varepsilon_{rr'}=\omega_1 \omega'_1 \varepsilon_1 + \omega_2 \omega'_2 \varepsilon_2 + \omega_3 \omega'_3 \varepsilon_3\) und beim Zusammenfallen beider Richtungen: \(\varepsilon = \omega_1^2 \varepsilon_1 + \omega_2^2 \varepsilon_2 + \omega_3^2 \varepsilon_3\). Jede isotrope Funktion der sechs Größen \(\varepsilon_{xx}, \ldots, \varepsilon_{yz}, \ldots\) wird eine Funktion der drei Fundamentalinvarianten \(\xi=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3, \,\eta=\varepsilon_2 \varepsilon_3+\varepsilon_3 \varepsilon_1+\varepsilon_1 \varepsilon_2, \,\zeta=\varepsilon_1 \varepsilon_2 \varepsilon_3\). Ist \(\theta\) die kubische Dilatation, während \(a_1, a_2, a_3\) die Hauptverlängerungen der Einheit sind, so ist \(1+\theta=(1+a_1)(1+a_1) (1+a_2) (1+a_3)\). Man setze \(\varphi=(1+\theta)V\), wo \(V\) das elastische Potential ist, so gewinnt der Verf. zuletzt für die Hauptspannungen die Formeln: \[ \begin{multlined} \tau_1=\frac{1}{(1+a_2)(1+a_3)}\frac {\partial \varphi}{\partial a_1},\quad \tau_2=\frac{1}{(1+a_3)(1+a_1)}\frac{\partial \varphi}{\partial a_2}, \\ \tau_3=\frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)}\frac{\partial \varphi}{\partial a_3}, \end{multlined} \] die er für neu hält.