Zum Formensystem von linearen Komplexen im \(R_3\). (Q1485822)

Wegen der Bezeichnungen vgl. die ``Komplexsymbolik'' des Verf. (F. d. M. 39, 714, 1908, JFM 39.0714.04). Die vorliegende Arbeit bringt wesentliche Ergänzungen zu denen von \textit{Mertens} (F. d. M. 20, 107, 1888, JFM 20.0107.02) und \textit{Waelsch} (F. d. M. 21, 823, 1889, JFM 21.0823.02). Es sei gegeben eine beliebige Anzahl von \(m\) linearen Komplexen (1) \(K_1=(\pi a')^2=0,\;K_2=(\pi b')^2=0\), usw., wo z. B. \(K_1=(\pi a')^2=(\pi' a)^2=2\sum a_{ik}\pi_{ik}=2\sum a^\prime_{ik}\pi_{ik}=2\sum a_{ik}\pi_{mn}=2\sum a^\prime_{mn}\pi^\prime_{ik}\) und nach der bekannten zyklischen Indexregel Stets \(a_{ik}=a^\prime_{mn},\;\pi_{ik}=\pi^\prime_{mn}\) zu setzen ist. Die Koordinaten eines Punktes \(x\), einer Ebene \(u'\), einer Geraden werden resp. mit \(x_i,u^prime_i,\pi_{ik}\) oder \(\varrho_{ik}\) bezeichnet. Bei der komplexsymbolischen Darstellung kommen zweierlei symbolische Faktorentypen in Betracht, die ``Summe'' und die ``Determinante''. Eine Summe ist von der Gestalt \((u'x)=(xu')=\sum u^\prime_i x_i\); in einer Determinante treten nur gleichartige (d. h. entweder nur gestrichelte oder aber nur ungestrichelte) Zeichen auf, z. B. \((abcd),\;(u'v'w's')\). Invariante Formen sind zu unterscheiden, wie folgt: Eine ``Invariante'' enthält nur die Koeffizienten der \(K\), eine ``Kovariante'' auch noch Punktkoordinaten \(x\). Treten statt der \(x\) Ebenenkoordinaten \(u'\) auf, so hat man eine ``Kontravariante''. Eine ``Strahlform'' enthält außer den Koeffizienten noch Strahlenkoordinaten, in einer ``Zwischenform'' treten verschiedene Reihen von verschiedenen Koordinaten auf. Es handelt sich um die Aufstellung des vollständigen Formensystems der gegebenen Komplexe \(K\). Es sind Summen- und Determinantenfaktoren aus den Größen (2) \(a,b,c,\dots,\pi,\varrho,\dots,x;\;a',b',c',\dots,\pi',\varrho',\dots,u'\) zu bilden. Hier sind die \(a,b,c,\dots,a',b',c',\dots\) Komplexsymbole, die den Koeffizienten der \(K\) entnommen sind, die \(\pi,\varrho,\pi',\varrho',\dots\) sind Komplexsymbole, die zur Darstellung von Koordinaten veränderlicher linearer Komplexe (speziell auch von Geraden) verwendet werden. Indessen gilt die wichtige Regel, daß die Determinantenfaktoren überhaupt ausgeschaltet werden können, so daß man sich auf Aggregate von Summenfaktoren beschränken kann. Es werden zuerst die ``Invarianten'' behandelt; in diesen treten nur Summenfaktoren vom Typus \((ab')\) auf. Je nach dem Grade der Invariante in den Koeffizienten der einzelnen Komplexe \(K\) hat man für jede Koeffizientenreihe ein neues -- durch Indizes angedeutetes -- Symbol einzuführen. Zunächst bilde man Invarianten von der Form \(J=(ab')(b'c)(cd')\dots (nm')(m'a)=[ab'cd'\dots nm']\). Ein solcher Ausdruck heißt eine ``Kette'' er kann nur bei einer geraden Anzahl von Komplexen auftreten. Da ein linearer Komplex durch sechs Verhältnisgrößen bestimmt ist, kann man sich auf die Untersuchung von 6 solchen Komplexen \(K\) beschränken. Die einfachste Invariante von \(K_1\) und \(K_2\), resp. von \(K_1\) allein, ist die Kette \(A_{12}=(ab')(b'a)\). Man kann nun irgend eine Kette so umformen, daß in ihr zwei nebeneinander stehende Symbole vertauscht erscheinen, so daß sich in einer Kette eine beliebige Anordnung der Symbole herbeiführen läßt. Eine Folge hiervon ist, daß man sich auf solche Ketten beschränken kann, in denen die Koeffizienten jedes einzelnen \(K\) linear vorkommen; überdies genügt nach Obigem die Annahme von resp. 2, 4, 6 Komplexen \(K\). Bedeutet \(R\) den Ausdruck \([ab'cd'ef']\), so ergibt sich, daß alle symbolisch dargestellten Invarianten von sechs \(K\) rational durch \(A_{ii}, A_{ik}\) und \(R\) ausdrückbar sind. Bei \textit{Mertens} tritt noch eine Invariante \(D\) auf; es erweist sich aber \(D\) als eine Wurzel einer quadratischen Gleichung, deren Koeffizienten ganzrational in den \(A_{ik}\) sind. Aber auch die obige Invariante \(R\) läßt sich auf solche Weise als Wurzel einer quadratischen Gleichung darstellen, wie mit Hülfe einer geeigneten Identität bewiesen wird. Zwischen den beiden Invarianten \(D\) und \(R\) besteht dagegen kein linearer Zusammenhang. Übrigens respräsentiert \(R\) nicht nur eigen einzigen Typus, sondern einen solchen, dem 6! Invarianten angehören, die sich aus \(R\) durch Permutation der Symbole \(a,b,\dots,f\) ergeben; es genügt aber die Betrachtung einer einzigen dieser Invarianten. Somit lassen sich alle Invarianten eines Systems von 6 linearen Komplexen rational durch die 6 \(A_{ii}\), die 15 \(A_{ik}\), durch \(R\) und \(D\) ausdrücken. Zieht man aber auch die irrationale Darstellung in Betracht, so ist jede Invariante allein durch die \(A_{ii}\) und \(A_{ik}\) ausdrückbar. Mit den Invarianten sind auch die Strahlformen erledigt; da man nur die Koeffizienten eines der Komplexe als Veränderliche aufzufassen braucht. Mithin lassen sich alle Strahlformen durch die obigen Invarianten, durch die \(K_i\), und zwei, mit \(R,D\) analog gebildete Strahlformen \(R',D'\) rational ausdrücken. Bei den Kovarianten ist noch der Faktorentypus \((a'x)\) zu berücksichtigen. Es stellen sich wiederum Ketten ein, wie bei den Invarianten. Es ergeben sich 20, resp. 6 Kovarianten, die zwei Typen angehören. Dual verhalten sich die Kontravarianten. Bei den Zwischenformen sind viererlei Gattungen zu unterscheiden. Man gelangt zu 15 + 15 + 1 Zwischenformen von dreierlei Typen. Alle diese Formen sind nur linear in bezug auf die Koeffizienten der einzelnen Komplexe.