Über Irreduzibilität der linearen homogenen Substitutionsgruppen und Differentialgleichungen. (Q1485830)

Es sei \({\mathfrak G}\) eine Gruppe linearer homogener Substitutionen in \(n\) Variabeln. Ist \(Y_1\) eine gegebene Linearform dieser Variabeln, so möge die Anzahl der linear unabhängigen unter den Funktionen, die aus \(Y_1\) bei Anwendung aller Substitutionen der Grappe hervorgehen, gleich \(m\) sein. Man kann dann, wie der Verf. zeigt, \(Y_1\) zu einem System von \(m\) linear unabhängigen Linearformen \(Y_1,Y_2,\dots ,Y_m\) ergänzen, die folgende Eigenschaften besitzen: eine beliebige Substitution von \({\mathfrak G}\) führt jede der Linearformen \(Y_1,Y_2,\dots ,Y_m\) in eine lineare homogene Verbindung dieser \(m\) Formen über; ferner enthält \({\mathfrak G}\) gewisse \(m\) Substitutionen, von denen die erste \(Y_1\) ungeändert läßt, die zweite \(Y_1\) in \(Y_2\) überführt usw. Die Gruppe \({\mathfrak G}\) ist dann und nur dann irreduzibel, wenn die Zahl \(m\) für \textit{jede} Linearform \(Y_1\) gleich der Anzahl \(n\) der Variabeln ist. Die analogen Sätze gelten auch, wenn der Betrachtung ein gegebener Zahlkörper zugrunde liegt, dem alle Koeffizienten der Substitutionen der Gruppe und der zu untersuchenden Linearformen \(Y_1\) angehören sollen. Durch Anwendung dieser Resultate auf die Rationalitätsgruppe einer linearen homogenen Differentialgleichung erhält der Verf. eine Reihe von interessanten Sätzen über Differentialgleichungen, von denen hier nur folgende erwähnt seien: Notwendig und hinreichend, damit eine lineare homogene Differentialgleichung \(F=0\) mit Koeffizienten aus einem gegebenen Rationalitätsbereich \(\Sigma\) (von Funktionen einer Variable) ein Integral \(Y_1\) besitzt, das keiner linearen homogenen von niedrigerer Ordnung mit Koeffizienten aus \(\Sigma\) genügt, ist, daß man ein Fundamentalsystem \(Y_1,Y_2,\dots,Y_n\) von \(F=0\) finden kann, für welches die zugehörige Rationalitätsgruppe \(n\) Substitutionen enthält, von denen die erste \(Y_1\) ungeändert läßt, die zweite \(Y_1\) in \(Y_2\) überführt usw. Hat ferner irgend eine algebraische Differentialgleichung \(F=0\) Koeffizienten aus \(\Sigma\) mit irgend einer linearen homogenen Differentialgleichung \(F=0\) mit Koeffizienten aus \(\Sigma\) ein Integral gemein, das keiner linearen homogenen Differentialgleichung niedrigerer Ordnung mit Koeffizienten aus \(\Sigma\) als \(F=0\) genügt, so kann man stets wenigstens ein Fundamentalsystem von Integralen von \(F=0\) finden, dessen Elemente sämtlich auch der Differentialgleichung \(A=0\) genügen. -- Der Rationalitätsbereich \(\Sigma\) unterliegt hierbei der Bedingung, daß er alle reellen und imaginären Konstanten enthalten soll.